[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 7 kwie 2021, o 14:32

Ukryta treść:    
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 7 kwie 2021, o 18:55

Takie jest też moje rozwiązanie. Można też dowodzić mocniejszej \(\displaystyle{ \sum\frac{a^2}{b}\ge 3}\). Przy okazji, ta ostatnia nierówność prawdziwa jest też przy \(\displaystyle{ \sum a^5=3}\), a także (podobno) przy \(\displaystyle{ \sum a^6=3}\).

PS Dwie ostatnie nierówności ode mnie to stare zadania z tego działu forum, dodam linki do rozwiązań w oryginalnych wątkach.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 7 kwie 2021, o 19:20

Nowe zadanie (dobra, niech już będą te kropki, nie będę tak niechlujny):

dla liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniających zależność \(\displaystyle{ abc=1}\) proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{1+ab}\right)^{2}+\left(\frac{b}{1+bc}\right)^{2}+\left(\frac{c}{1+ca}\right)^{2}\ge \frac{3}{4}}\).

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 14 kwie 2021, o 01:03

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 14 kwie 2021, o 01:16

Elegancko, można kontynuować.
Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 14 kwie 2021, o 01:32

Dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a\ge b+c}\). Udowodnij, że $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{9c}{4(a+b)}\ge\frac{23}{12}.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 14 kwie 2021, o 05:36

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 14 kwie 2021, o 17:34

Podoba mi się to rozwiązanie. Proszę bardzo.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 15 kwie 2021, o 00:56

Nowe zadanie: niech \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR, \ xyz=-1}\). Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ x^{4}+y^{4}+z^{4}+3(x+y+z)\ge \frac{x^{2}}{y}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{y^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{y}.}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 21 kwie 2021, o 07:38

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 21 kwie 2021, o 09:59

Świetnie, zadajesz.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 21 kwie 2021, o 15:21

Nieujemne liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają zależność \(\displaystyle{ a+b+c=3}\). Udowodnij, że $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 21 kwie 2021, o 20:33

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 21 kwie 2021, o 22:28

W rzeczy samej.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 22 kwie 2021, o 01:20

Nowe zadanie:

liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają zależność \(\displaystyle{ a+b+c=1}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\le 2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)}\)

ODPOWIEDZ