[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 26 mar 2021, o 22:42

Podpowiedź:    
Dodano po 1 dniu 21 godzinach 19 minutach 34 sekundach:
Szkic rozwiązania:    
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 28 mar 2021, o 21:21

Chyba tak najprościej i najzgrabniej, możesz kontynuować.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 28 mar 2021, o 21:37

Znajdź wszystkie wartości rzeczywistej stałej \(\displaystyle{ k}\), dla których nierówność $$x^4+y^4+z^4+t^4+kxyzt\ge 0$$ spełniona jest dla dowolnych rzeczywistych liczb \(\displaystyle{ x,y,z,t}\), takich że \(\displaystyle{ x+y+z+t=0}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 30 mar 2021, o 02:48

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 30 mar 2021, o 18:23

Fajnie, Twoja kolej.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 31 mar 2021, o 00:34

Niech \(\displaystyle{ x\in \RR, \ n\in \NN^{+}}\).
Proszę wykazać, że \(\displaystyle{ \sin^{n}(2x)+\left(\sin^{n}(x)-\cos^{n}(x)\right)^{2}\le 1}\).
Ostatnio zmieniony 31 mar 2021, o 01:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 3 kwie 2021, o 19:02

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 4 kwie 2021, o 01:22

Oczywiście dobrze. Możesz wrzucać nową nierówność.
Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 4 kwie 2021, o 06:57

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b>0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a^2+b^2\ge a^3+b^5}\). Udowodnij, że $$\frac{1}{2}\ge b-\frac{1}{a^2+b^2}.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 4 kwie 2021, o 09:01

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 4 kwie 2021, o 20:58

No jasne.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 4 kwie 2021, o 21:11

Nowe zadanie:
dla \(\displaystyle{ a,b>0}\) proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \left(a^{2}+b+\frac{3}{4}\right)\left(b^{2}+a+\frac{3}{4}\right)\ge \left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right).}\)
Ostatnio zmieniony 4 kwie 2021, o 22:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 6 kwie 2021, o 06:13

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 6 kwie 2021, o 09:22

Znakomicie, możesz wrzucać następne zadanie.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 6 kwie 2021, o 17:56

OK, to będzie na razie ostatnia.

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a^4+b^4+c^4=3}\). Udowodnij, że $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a^2+b^2+c^2.$$

ODPOWIEDZ