[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo » 9 sty 2021, o 22:04

Wsk: Po raz kolejny okazuje się, że szczególny przypadek trudniej zrobić, niż ogólny:

Jeżeli `f` jest funkcją wypukłą na odcinku `[0,a_1]` i taką że `f(0)\le 0` to dla `0\le a_n\le a_{n-1}\le ...\le a_2\le a_1` zachodzi
`f(a_1)-f(a_2)+f(a_3)-...\ge f(a_1-a_2+a_3-...)`
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 10 sty 2021, o 03:37

Ukryta treść:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo » 10 sty 2021, o 05:57

@Premislaw
Klap, klap, klap.
Nierówność została udowodniona przez R. Bellmana (choć oryginalny dowód zakłada różniczkowalność i ma literówkę w założeniach) - Mitrinovic, Elementarne nierówności, 10.28.
Nawiasem mówiąc, ja krok indukcyjny robię trochę inaczej: zamiana `a_1` i `a_2` na `a_1-(a_2+a_3)` i `a_2-(a_2-a_3)` powoduje zmniejszenie lewej strony i redukcję ilości składników po lewej stronie o dwa, a nie zmienia prawej strony.
Z ciekawości: dlaczego nie chciałeś zaczynać indukcji od `n=1`?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 10 sty 2021, o 17:58

O, to sprytne. Nie chciałem zaczynać indukcji od \(\displaystyle{ n=1}\), bo mi się to wydawało zbyt trywialne, całą robotę i tak trzeba wykonać, przy moim podejściu, jak dla \(\displaystyle{ n=2, \ n=3}\), a \(\displaystyle{ n=1}\) nie wnosi żadnej jakości. Ot, moje upodobania.

Nowe zadanie: dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)}+\left(3-\sqrt[3]{12}\right)\sqrt[3]{abc}\ge a+b+c}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 26 sty 2021, o 00:42

Trudno, nie wzbudziło zainteresowania. Jest to (po podzieleniu stronami przez trzy) szczególny przypadek Twierdzenia 9.2.1. z Powrotu do krainy nierówności Kourliandtchika. Treść twierdzenia:
niech \(\displaystyle{ t,n\in \NN, \ t\ge 2, \ n\ge 2}\). Najmniejsza liczba \(\displaystyle{ \beta\in [0,1]}\), dla której nierówność
\(\displaystyle{ \beta\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{t}\right)^{\frac{1}{t}}+(1-\beta)\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_{i}}\ge \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\)
zachodzi dla wszystkich układów liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}}\)
jest równa \(\displaystyle{ \left(\frac{n-1}{n}\right)^{\frac{t-1}{t}}}\)

Dowód twierdzenia jest długi i obejmuje rachunek różniczkowy wielu zmiennych, nie chce mi się go przepisywać. Liczyłem na to, że ktoś zaproponuje sprytny, bardziej elementarny sposób dla szczególnego przypadku \(\displaystyle{ n=3}\), bo ja elementarnie nie dałem rady, no ale nie stało się tak, trudno. To może coś znacznie łatwiejszego.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}\ldots x_{n}>0, \ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1}\). Proszę wykazać nierówność
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{x_{i}}-1\right)\ge (n-1)^{n}}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo » 26 sty 2021, o 10:03

Funkcja `h(x)=\ln (1/x-1)` ma dwie fajne własności:
1) jest wypukła w przedziale `(0,1/2]`,
2) dla dowolnego `x\in(0,1)` zachodzi `h(x)=-h(1-x)`.

W języku funkcji `h` nierówność w zadaniu wygląda tak:

\(\displaystyle{ (*) \quad \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n h(x_i)\geq h\left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right)}\)

Własność 2) pokazuje, że dla `n=2` lewa strona nierówności jest równa `1` niezależnie od wyboru `x_1`

Jeżeli wszystkie `x_` należą do przedziału `(0,1/2]`, to własność 1) oraz nierówność Jensena załatwiają sprawę.
W przeciwnym razie przypuśćmy, że `x_2` jest (jedynym) wyrazem, który jest większy niż `1/2`. Wtedy \(\displaystyle{ \magenta{x_1<1-x_2}<1/2}\).
Funkcje wypukłe mają fajną własność Wrighte'a: jeżeli \(\displaystyle{ a<b}\), to \(\displaystyle{ f(b+x)-f(a+x)>f(b)-f(a))}\) dla każdego `x>` (oczywiście `a,b,a+x,b+x` muszą należeć do dziedziny.

Z tej własności wynika, że dla `0<t<x_2-1/2` mamy

\(\displaystyle{ h(x_1+t)+h(x_2-t)=h(x_1+t)+h(1-(1-x_2-t))\blue{=}h(x_1+t)-h(1-x_2+t)\red{\leq} h(x_1)-h(1-x_2)\blue{=}h(x_1)+h(x_2)}\)

(niebieskie równości to własność 2), czerwona to konsekwencja własności Wrighte'a i fioletowego kawałka)

W szczególności kładąc `t=x_2-1/2` mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\geq \frac{1}{n}\left(h(x_1+x_2-1/2)+h(1/2)+\sum_{i=3}^n h(x_i)\right)\geq h\left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right)}\)

Ta ostatnia nierówność to oczywiście Jensen, który można stosować, bo wszystkie nowe argumenty są w przedziale `(0,1/2]`

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 26 sty 2021, o 22:45

Bardzo ciekawy pomysł na rozwiązanie, przywilej postawienia następnego pytania przypada a4karo.

Moje podejście było bardziej typowe.
Ukryta treść:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo » 2 lut 2021, o 19:19

Niech \(\displaystyle{ f:\RR\to \RR}\) będzie funkcją ciągłą, parzystą o okresie `2`, rosnącą na przedziale `(0,1)` i
\(\displaystyle{ g(\alpha)=\int_0^2 f(x)f(x+\alpha) dx}\)
.

Pokazać, że
\(\displaystyle{ \inf_{0\le\alpha\le 2} g(\alpha)=g(1).}\)
Ukryta treść:    
Dodano po 1 dniu 4 godzinach 13 minutach 13 sekundach:
Załóżmy dodatkowo, że nieujemną (choć nie wiem czy to założenie jest istotne)

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 440 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 4 lut 2021, o 00:51

a4karo pisze:
3 lut 2021, o 23:32
Załóżmy dodatkowo, że nieujemną (choć nie wiem czy to założenie jest istotne)
nie jest istotne, bo zamiana \(f(x)\) na \(f(x)+a\) daje równoważne zadanie; skalowanie też oczywiście nic nie zmienia, więc można sobie założyć, że \(f(0)=0\) i \(f(1)=1\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo » 4 lut 2021, o 07:51

Faktycznie, dzięki

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 440 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 4 lut 2021, o 20:19

Ukryta treść:    
nowe zadanie (niestety nie mam nic lepszego pod ręką): rozważamy liczby rzeczywiste spełniające równość \(x^2+y^2+z^2=x+y+z\)

obliczyć kres dolny i kres górny wyrażenia \(2020x+2021y+2022z\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 4 lut 2021, o 21:42

Ukryta treść:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo » 4 lut 2021, o 22:46

Wrócę jeszcze do zadania o funkcji okresowej.
Wiadomo, że jeżeli \(\displaystyle{ a_1\le\dots\le a_n}\) i \(\displaystyle{ b_1\le\dots\le b_n}\) to
\(\displaystyle{ \sum_{i-1}^n a_ib_{n-i}\le \sum_{i-1}^n a_ib_{\sigma{(i)}}\le \sum_{i-1}^n a_ib_{i}}\)
dla dowolnej permutacji `\sigma`.

Zadanie jest do pewnego stopnia uogólnieniem tych nierówności dla funkcji.

Przypuśćmy, że `\alpha=K/N` jest liczbą wymierną. Wtedy dla wszystkich `n` będących wielokrotnością `N` ciąg \(\displaystyle{ \frac{i}{n},\ i=1,\dots,n}\) jest permutacją ciągu \(\displaystyle{ \frac{i}{n}+\alpha \mod 1,\ i=1,\dots,n}\)

Zgodnie podaną na wstępie własnością suma całkowa dla `\int_0^1 f(x)f(x+\alpha)dx`
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(i/n)f(i/n+\alpha)\geq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(i/n)f((n-i)/n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(i/n)f(i/n+1)}\)
(ta ostatnia równośc wynika z faktu, że `f(1+t)=f(-1-t)=f(1-t)`
Prawa strona jest sumą całkową dla `\int_0^1 f(x)f(x+1)dx`

Podobną zabawę można zrobić na przedziale `(1,2)`.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 440 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 5 lut 2021, o 02:41

@Premislav, nie sprawdzałem dokładnie rachunków (wierzę, że wszystko się zgadza), metoda rozwiązania jest jak najbardziej poprawna :!:

@a4karo, ciekawe zadanie i ciekawy komentarz, dzięki :!:

@Premislav, czekamy na nową nierówność :!:

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 5 lut 2021, o 03:09

Niech \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}>0}\). Proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}^{2}}\ge n^{3}}\)

Dodano po 4 minutach 45 sekundach:
Ech, teraz zauważyłem, że to jest trywialniejsze niż myślałem, ale trudno, niech już zostanie, bo ktoś mógł zacząć pisać rozwiązanie (albo tylko ja przesiaduję o dziwnych porach i selerach)…

ODPOWIEDZ