[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Wypukła powłoka wyszła mi może ze dwa razy w życiu w zadaniach spoza poświęconego jej rozdziału w Kurlandczyku. O ile dobrze wszystko wpisałam, to tutaj też nie wyjdzie,

Kod: Zaznacz cały

https://www.desmos.com/calculator/llsmbxltow
, funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie jest wklęsła wszędzie w interesującym nas przedziale. Jeśli chciałbyś nakryć cały przedział \(\displaystyle{ [0,4]}\) wypukłą powłoką, to sieczna przez \(\displaystyle{ (4,f(4))}\) powinna byc styczna (a więc gładko łączyć się z wykresem \(\displaystyle{ f}\)) w drugim punkcie, ale o ile to wyjdzie, to ten punkt będzie leżał na lewo od jedynki, czyli będzie \(\displaystyle{ g(1)>f(1)}\)
i przeszacujesz.
Ostatnio zmieniony 18 gru 2020, o 13:44 przez bosa_Nike, łącznie zmieniany 4 razy.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Tak, już mi a4karo na PW zwrócił uwagę, przepraszam za tę kaszanę.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

możliwy spoiler:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Ghostwriter św. Guineforta pisze:Łał! (oryg. Ouah ouah.)
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

To może dla odmiany coś, co idzie na hita jak ja w szkolnej bójce (po prostu nie chcę kolejnej nierówności odkopywać po ponad dwóch tygodniach, bo była brzydka lub nieprzyjemnie wyglądała).
Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ ab+bc+ca=\frac{1}{3}}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{a^{2}-bc+1}+\frac{b}{b^{2}-ca+1}+\frac{c}{c^{2}-ab+1}\ge \frac{1}{a+b+c}}\)
H0t_Orange_B0i
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 9
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 4 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: H0t_Orange_B0i »

Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 30 gru 2020, o 18:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Dokładnie o takim rozwiązaniu myślałem (jedyna różnica, to, że najpierw ujednorodniłem, a potem dopiero skorzystałem z CS w formie Engela), możesz wrzucać następne.
H0t_Orange_B0i
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 9
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 4 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: H0t_Orange_B0i »

Niech \(\displaystyle{ x, y, z}\) będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi takimi, że \(\displaystyle{ x^2 +
y^2 + z^2 = 3}\)
. Pokazać, że
\(\displaystyle{ \frac{1+x^2}{z+2}+\frac{1+y^2}{x+2}+\frac{1+z^2}{y+2} \ge 2}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
H0t_Orange_B0i
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 9
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 4 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: H0t_Orange_B0i »

Wszystko się zgadza ,możesz wrzucić kolejną nierówność
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Niech \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}\ge 1}\). Proszę wykazać nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+a_{k}}\ge \frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Istotnie, sam tak robiłem (zadanie proste, ale nie mam humoru na szperanie w książkach i PDF-ach, a to jest pierwsze z brzegu w Elementarnych nierównościach Mitrinovica).

Można wstawić następną nierówność.


Tylko naprawdę proszę nie zostawiać tego tematu na kilka tygodni (jak jakichś bieda-quizów w HP), jest on bliski mojemu sercu prawie jak muzyka Pink Floyd i keks od babci (można zapytać, czemu w takim razie zaśmiecam go obecnością tak nędznej i nieinteligentnej persony, jak ja, aczkolwiek odpowiedź na to pytanie należy do niewyrażalnych, można ją jedynie przybliżyć podobieństwami, jak w Ewangelii).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ \tan 1 - \tan\frac{n-1}{n}+\tan\frac{n-2}{n}-\tan\frac{n-3}{n}+\dots+(-1)^{n-1}\tan\frac{1}{n}\geq \tan\left(\frac{1}{2}+\frac{\sin^2 n\pi/2}{n}\right).}\)
ODPOWIEDZ