[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Mam nadzieję, że jeszcze tego nie dawałem.
Niech \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR^{+}}\). Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}\le 3\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\left(y^{2}+yz+z^{2}\right)\left(z^{2}+zx+x^{2}\right) }\)
Niech \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR^{+}}\). Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}\le 3\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\left(y^{2}+yz+z^{2}\right)\left(z^{2}+zx+x^{2}\right) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 9
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 4 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 9
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Może teraz coś trudniejszego.
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) bedą liczbami nieujemnymi i parami różnymi.
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{b-c} \right)^2+\left( \frac{b}{c-a}\right)^2+\left( \frac{c}{a-b} \right)^2 >2.}\)
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) bedą liczbami nieujemnymi i parami różnymi.
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{b-c} \right)^2+\left( \frac{b}{c-a}\right)^2+\left( \frac{c}{a-b} \right)^2 >2.}\)
Ostatnio zmieniony 24 paź 2020, o 23:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 9
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Dowód jak najbardziej w porządku, ja jak zobaczyłem tą nierowność to pierwsze co mi przyszło do głowy to użycie Cauchy'ego Schwarza ale z nierówności Schura też wychodzi ładny dowód.
Możesz wstawić kolejne
Możesz wstawić kolejne
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Niech \(\displaystyle{ (a_{n})_{n=1}^{\infty}}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich i niech dla \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}}\). Niech ponadto \(\displaystyle{ N\in \NN^{+}}\). Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}\le 4\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}\le 4\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Jako, że cisza, wrzucam dowód, który kiedyś tam znalazłem w internecie. Sama nierówność jest znana pod nazwą nierówność Hardy'ego, \(\displaystyle{ 4}\) jest optymalną stałą. W ogólnym przypadku, dla \(\displaystyle{ p}\)-tych potęg, optymalna stała to \(\displaystyle{ \left(\frac{p}{p-1}\right)^p}\).
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_i \in \mathbb{R}}\) pokazać nierówność
\(\displaystyle{ a_1a_2\ldots a_n \le \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^4}{4} + \ldots + \frac{a_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n}}\)
Jestem ciekawy czy jest jakieś elementarne rozwiązanie (nie próbowałem, więc może łatwo pójdzie).
\(\displaystyle{ a_1a_2\ldots a_n \le \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^4}{4} + \ldots + \frac{a_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n}}\)
Jestem ciekawy czy jest jakieś elementarne rozwiązanie (nie próbowałem, więc może łatwo pójdzie).
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
ostatnia nierówność to po prostu ważone AM-GM dla liczb \(a_1^{2},a_2^{2^2},\ldots,a_n^{2^n}, 1\) i wag \(\frac12,\frac14,\ldots, \frac{1}{2^{n-1}}, \frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^n}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Nowe zadanie:
proszę udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c\in \RR^{+}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b\ge abc(a+b+c)}\)
proszę udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c\in \RR^{+}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b\ge abc(a+b+c)}\)