[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Sylwek »

Bądź standardowo: ujednorodnijmy:
\(\displaystyle{ (x^2+y^2+z^2)^3 (x+y+z)^3 xyz \\ \sum_{sym} x^6 + 3 \sum_{sym} x^4y^2 + 6 x^2y^2z^2 \sum_{sym}x^4yz + 3\sum_{sym} x^3y^2z + 6 x^2y^2z^2 \\ \sum_{sym} x^6 + 3 \sum_{sym} x^4y^2 \sum_{sym}x^4yz + 3\sum_{sym} x^3y^2z}\)

No i jakkolwiek można dokończyć, np. z Muirheada:
\(\displaystyle{ (6,0,0) \succ (4,1,1) \sum_{sym} x^6 \sum_{sym}x^4yz \\ (4,2,0) \succ (3,2,1) \sum_{sym} x^4y^2 \sum_{sym} x^3y^2z}\)
Stąd już teza.
Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: limes123 »

\(\displaystyle{ \sum \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4}\geq \sum a\sqrt{2a^2+bc}}\) dla nieujemnych a,b,c.
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Dumel »

znalazłem to w zestawie zadań na finał, ale az takie trudne nie jest:
\(\displaystyle{ a+b+c=1}\)
\(\displaystyle{ a,b,c \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-a)(1-b)}+ \frac{1}{(1-a)(1-c)}+ \frac{1}{(1-b)(1-c)} \leqslant \frac{1}{abc}}\)
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Sylwek »

Próbuję standardowo - ujednorodnijmy, wymnóżmy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(b+c)(a+c)} + \frac{1}{(b+c)(a+b)} + \frac{1}{(a+c)(a+b)} \le \frac{1}{abc} \\ abc\left( (a+b) + (a+c) + (b+c) \right) \le (a+b)(b+c)(c+a) \\ 2(a+b+c)abc \le (a+b)(b+c)(c+a) \\ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 2abc}\)

co jest zdecydowanie prawdą na mocy AM>GM (tą nierówność da się znacznie wzmocnić), prościutka ta nierówność
Gierol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 12 lis 2006, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrowiec św.
Pomógł: 5 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Gierol »

Dumel pisze:znalazłem to w zestawie zadań na finał, ale az takie trudne nie jest:
\(\displaystyle{ a+b+c=1}\)
\(\displaystyle{ a,b,c \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-a)(1-b)}+ \frac{1}{(1-a)(1-c)}+ \frac{1}{(1-b)(1-c)} \leqslant \frac{1}{abc}}\)
nie wiem czy ja cos zle robie, czy moze zle przepisales, ale chyba slaba cos ta nierownosc
rownowaznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(b+c)(a+c)}+ \frac{1}{(b+c)(a+b)}+ \frac{1}{(a+c)(a+b)} \leqslant \frac{1}{abc}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac {2}{(a+b)(b+c)(a+c)} \leqslant \frac{1}{abc}}\)
no ale mianownik lewej strony jest wiekszy badz rowny od \(\displaystyle{ 8abc}\) co konczy zadanie
lol sylwek musze nauczyc sie szybciej w texie pisac. nie odswiezalem przez czas w ktorym pisalem i zdarzyles mi sie wbic
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Dumel »

Sylwek pisze:prościutka ta nierówność
no mi wlasnie tez tak gładko poszła, to sie troche zdziwilem ze byla w grupie zadan niby na final OM (przez chwile myslalem że taki mądry jestem ale tylko przez chwile)
ja robiłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{abc}= \frac{a+b+c}{abc}= \frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac}+ \frac{1}{bc}}\)
i potem 3 razy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-a)(1-b)} \leqslant \frac{1}{ab}}\)
Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: limes123 »

Ja sie w szkole zastanawialem czemu poszla tak latwo a to jednak nie zadna zmyla;p jak chcecie troche trudniejsza to chyba mozecie sprobowac to ktora dalem pare postow wyzej (tylko ona tez jest chyba troche za trudna na II etap ale warto zrobic)
frej

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: frej »

Dumel pisze:znalazłem to w zestawie zadań na finał
Mógłbyś przybliżyć mi trochę temat tego zestawu??
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Dumel »

tzn. to było zadanie z kolka Staszica. zestaw zadan był zatytułowany "różny trening przed finałem"
kubek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syberia
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: kubek1 »

Udowodnij, że dla dodatnich a,b,c zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a^5+b^5+c^5>=abc(ab+bc+ca)}\)
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Sylwek »

\(\displaystyle{ a^5+a^5+b^5+b^5+c^5 5a^2b^2c \\ a^5+a^5+b^5+c^5+c^5 5a^2bc^2 \\ a^5+b^5+b^5+c^5+c^5 5ab^2c^2}\)

Dodając stronami i dzieląc przez 5 dostajemy tezę (można też to zrobić szybciej z ciągów jednomonotonicznych, ale nie chciało mi się tego w LaTeX-u zapisywać )
frej

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: frej »

Bez straty ogólności \(\displaystyle{ a\ge b c}\)
Jak rozważymy ciągi \(\displaystyle{ (a^2,b^2,c^2), (a^2, b^2, c^2), (a,b,c)}\) to są one jednakowo monotoniczne, zetem chyba każdy wie co dalej.
kubek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syberia
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: kubek1 »

Dobrze. Z Muirheada też by poszło
Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: limes123 »

No ale ta była dość prosta... Wskazówka do tej pare postów wyzej
\(\displaystyle{ (a^2-b^2)^2\geq 0}\)
frej

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: frej »

Dobra, wrzucę cokolwiek, bo szkoda, żeby taki temat umierał.

\(\displaystyle{ a,b,c,d,e \in\mathbb{R}_{+} \\ (a+b+c+d+e)^2 \ge 4(ab+bc+cd+de+ea)}\)

oczywiście udowodnić
ODPOWIEDZ