[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

[WolfusA]

Niech \(\displaystyle{ x,y,z \ge 1}\) będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi \[ \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{y^2-1} + \frac{1}{z^2-1} = 1. \] Wykaż \[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} \le 1. \]

[Premislav]

Ukryta treść:    

Powinny być ostro większe od \(\displaystyle{ 1}\).
Podstawmy \(\displaystyle{ a=\frac{1}{x^2-1}, \ b=\frac{1}{y^2-1}, \ c=\frac{1}{z^2-1}}\). Wówczas
\(\displaystyle{ x= \sqrt{\frac 1 a+1}, \ y= \sqrt{\frac 1 b+1}, \ z=\sqrt{\frac 1 c+1}}\),
czyli dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniających
\(\displaystyle{ a+b+c=1}\) mamy wykazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{1+\sqrt{\frac 1 a+1}} \le 1}\)
czy równoważnie
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} a\left( \sqrt{\frac 1 a+1}-1 \right) \le 1}\)
Funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt{x}-1}\) jest wklęsła w dodatnich, wszak
\(\displaystyle{ f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac 3 2}<0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).
Zatem z nierówności Jensena:
\(\displaystyle{ \text{LHS}=af\left( \frac 1 a+1\right)+bf\left( \frac 1 b+1\right)+cf\left( \frac 1 c+1\right)\\ \le f\left( 1+a+1+b+1+c\right)=f(4)=1=\text{RHS}}\)
co kończy dowód.

BTW zamiast Jensena można użyć lematu w dodatnich:
\(\displaystyle{ \sqrt{\kappa}-1\le \frac{\kappa}{4}}\)

[WolfusA]

Jest OK, czas na Ciebie.

[Premislav]

Mam nadzieję, że jeszcze nie było:
niech \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \RR^+, \ a\le b\le c\le d}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2a}{a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{c+d}}+ \sqrt{ \frac{2d}{d+a} } \le 4}\).

[Premislav]

wskazówka:    

Najpierw udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0<a\le b\le c}\), to
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2a}{a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\le 3}\), a następnie wykorzystać to w dowodzie właściwej tezy zadania.
W zasadzie zdaje się, że założenia można nieco osłabić.

[WolfusA]

rozwiązałem przed wskazówką, jeszcze nie czytałem:    

Zapiszmy \(\displaystyle{ c=a+z,d=a+z+x}\) gdzie \(\displaystyle{ x,z\ge 0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\frac{a+z}{2a+2z+x}}+\sqrt{\frac{a+z+x}{2a+z+x}}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{(a+z+x)(2a+2z+x)^3}}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{a+z}{(2a+2z+x)^3}}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)\le 0\iff x^4+x^3[(a+z)(7a+4z)-a^2]+x^2(a+z)[3(2a+z)(3a+2z)-6a^2]+(a+z)x[(2a+z)^2(5a+4z)-12(a+z)a^2]+(a+z)^2[(2a+z)^2-8a^2(a+z)]}\)
Wszystkie współczynniki są nieujemne bo \(\displaystyle{ a>0,\ z\ge 0}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest ciągła jako suma dwóch złożeń funkcji ciągłych \(\displaystyle{ \sqrt{x},\frac{m+x}{n+x}}\)
Czyli funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\). Wykazaliśmy więc
LEMAT (w oderwaniu od kontekstu zadania też funkcjonuje)
\(\displaystyle{ 0<a\le c\le d\implies \sqrt{\frac{c}{c+d}}+ \sqrt{ \frac{d}{d+a} }\le\sqrt{\frac{c}{c+c}}+ \sqrt{ \frac{c}{c+a} }}\).
Teraz trzeba wykazać \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2a}{a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{c+a}}\le 3}\). Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), Chiny Zachodnie 2004, a wcześniej chyba Vasile Cirtoaje to pokazał, ale ja pokażę jak skończyć używając dodatkowych założeń naszego zadania. Korzystając z powyższego lematu
\(\displaystyle{ 0<a\le b\le c\implies \sqrt{\frac{b}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{c}{c+a} }\le\sqrt{\frac{b}{b+b}}+ \sqrt{ \frac{b}{b+a} }}\).
A więc teraz tylko \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{ \frac{2b}{b+a} }\le 2}\) co jest nierównością między arytmetyczną i kwadratową

[Premislav]

Dobrze (chyba tylko się machnąłeś w przepisywaniu wyrazu wolnego wielomianu, do nieujemności którego sprowadza się wykazanie niedodatniości pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\), ale to szczegół… albo to ja nie umiem liczyć; lemat jest prawdziwy tak czy siak), wrzucaj nową nierówność.

[WolfusA]

W podobnym klimacie: dla \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \RR_+}\) spełniających \(\displaystyle{ a+b+c+d=9}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+\sqrt{\frac{c}{d+3}}+\sqrt{\frac{d}{a+3}}\leq5\sqrt{\frac{2}{7}}.}\)

[Premislav]

Panie, a idź pan (musiałem to napisać dla swojego komfortu).

bzdury:    

miałem taką myśl, by oszacować z góry przez coś takiego:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3c}{2c+5d}}+\sqrt{\frac{3d}{2d+5c}}+\sqrt{\frac{3a}{2a+5b}}+\sqrt{\frac{3b}{2b+5a}}}\), co narzuciło mi rozważenie przypadku \(\displaystyle{ a=c, \ b=d}\), ale Wolfram mówi, że otrzymana nierówność jest nieprawdziwa (zachodzi ostra nierówność w drugą stronę) dla
\(\displaystyle{ a=0, \ b\approx 1,08099, \ c\approx 0,00529881, \ d\approx 1,10082}\), więc z oczywistej ciągłości wystarczy wziąć jakieś \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) żeby \(\displaystyle{ a}\) było bardzo bliskie zera, zaś \(\displaystyle{ b,c,d}\) bardzo bliskie powyższych wartości i lipka.
Za trudne dla mnie takie nierówności, idę liczyć deltę.

[WolfusA]

Powiem tylko, że to nie była nierówność na "rozgrzewkę OM" tylko na coś większego kalibru. Gdzie nie ma 3 darmowych zadań pod rząd jednego dnia.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ \{a,b,c,d\}=\{x,y,z,t\}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\geq y\geq z\geq t}\).
Nierówność między ciągami jednomonotonicznymi i Jensen

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+3}}\leq\left(\sqrt{\frac{x}{t+3}}+\sqrt{\frac{t}{x+3}}\right)+\left(\sqrt{\frac{y}{z+3}}+\sqrt{\frac{z}{y+3}}\right)\leq\\
\leq\frac{x+t+3}{\sqrt{3(x+t+6)}}+\frac{y+z+3}{\sqrt{3(y+z+6)}}=\\
=\frac{1}{\sqrt3}\left(\sqrt{x+t+6}+\sqrt{y+z+6}\right)-\sqrt3\left(\frac{1}{\sqrt{x+t+6}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+6}}\right)\leq\\
\leq\frac{1}{\sqrt3}\sqrt{2(x+y+z+t+12)}-\frac{2\sqrt3}{\sqrt{\frac{x+y+z+t+12}{2}}}=5\sqrt{\frac{2}{7}}.}\)

-- 22 sie 2019, o 14:25 --

A teraz problem w stylu 1.dnia 70.OM II etap. Na pewno lepsze niż ta geometria z pierwszego dnia.
\(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{R}_+\wedge abc=1\implies a+b+c\ge \sqrt{2}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{a+b}}+\sqrt{\frac{1}{b+c}}+\sqrt{\frac{1}{c+a}}\right)}\)

[Premislav]

Tamta poprzednia to nie mój poziom zupełnie, pewnie więcej niż 20 godzin łącznie nad nią przesiedziałem. Dla mnie w sam raz na rozgrzewkę do próby samobójczej. ( ͡° ͜ʖ ͡°)

Ukryta treść:    

Podstawmy \(\displaystyle{ a=\frac{x}{y}, \ b=\frac{y}{z}, \ c=\frac z x}\) dla dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\). Po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ xyz}\) nierówność przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ x^2z +y^2x+z^2y\ge xyz\left(\sqrt{ \frac{2yz}{y^2+zx} }+\sqrt{\frac{2zx}{z^2+xy}}+\sqrt{\frac{2xy}{x^2+yz}}\right)}\)
Teraz \(\displaystyle{ y^2+zx\ge 2y\sqrt{zx}\\z^2+xy\ge 2z\sqrt{xy}\\x^2+yz\ge 2x\sqrt{yz}}\),
co daje odpowiednie szacowania tych pierwiastków i wystarczy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ x^2z+y^2x+z^2y\ge x^{\frac 3 4}yz^{\frac 5 4}+x^{\frac 5 4}y^{\frac 3 4}z+xy^{\frac 5 4}z^{\frac 3 4}}\)
Jednak z AM-GM mamy:
\(\displaystyle{ \frac{y^2x+z^2y+z^2y+x^2 z}{4}\ge x^{\frac 3 4}yz^{\frac 5 4}\\ \frac{x^2 z+x^2z+y^2x+z^2y}{4}\ge x^{\frac 5 4}y^{\frac 3 4}z \\ \frac{x^2 z+y^2 x+y^2 x+z^2y}{4}\ge xy^{\frac 5 4}z^{\frac 3 4}}\)
Dodajemy stronami i koniec.

PS W ogóle beka, że na początku źle przeczytałem treść i kminiłem inną nierówność.

A tamtej geometrii nie zrobiłem. xD Jest jaki sposób, żeby się nauczyć planimetrii (stereometrii to nawet nie chcę), czy jak ktoś jest debilem, to pozostanie?

[WolfusA]

Ładne rozwiązanie całkiem, nie próbowałem tą drogą. Możesz wrzucać nową. Ciekawe jest, że z symetrycznej nierówności dostałeś cykliczną niesymetryczną. Ja sugeruję to zrobić następująco

Ukryta treść:    

AM-GM potem GM-HM
\(\displaystyle{ \frac{a+b+2c}{4}\ge\sqrt{c}\cdot\sqrt[4]{ab}\ge\sqrt{2\cdot\frac{abc}{a+b}}}\)

Bardzo podobał mi się pomysł nierówności funkcyjnej jako pierwsze na 69 OM. Dla doświadczonych proste, dla nowicjuszy barykada.
Słuchaj, ja pierwsze próbowałem rozwiązać przez 3 godziny a z geo jestem na dobrym poziomie. Zamiast wykazywać równość łuków (bo to odpowiedniki kątów), to ja cięciwy liczyłem przez 3 godziny. Około 12:15 doznałem prawie ataku paniki pierwszego dnia, bo w 69. byłem w finale... Nigdy nie przeżyłem takiego paraliżu. Uwierz mi, to nie literacki opis. Normalnie czułem się jak przed zawałem - wysokie ciśnienie, czuję własny puls w głowie i gorąco aż się rozpływam. Mimo to 660660. Dawać jeden punkt. Należy mi się za ciężką pracę, nie biwakowałem od finału 69. Codziennie trzepałem te zadania. A zapomniałem... Tylko w Polszy nie ma czegoś jak 1 punkt... (na IMO jest, w USA jest). Na marginesie: czwarte z drugiego dnia 70. edycji było na TST w Rumunii ok. 2005 (chodzi mi o fakt, że znane zadanie, ale jako tako byłbym jego zwolennikiem). Jakby co dla mnie to zadanie było nowe, ale na innym forum doczytałem, że się powieliło.
I czy to jest sprawiedliwe? Spadłem z wysokiego konia.

[Premislav]

Płynna skala z IMO moim zdaniem (nie żebym się znał, daleko mi do tego) ma dużo zalet w porównaniu z polską (np. różnica między 2 a 5 – w sytuacji granicznej między OM-ową dwójką a piątką można dostać 2/6 na OM i 4/7 na IMO, czyli odpowiednio jakieś 33% i jakieś 57% punktów za zadanie… przypomina mi się też kazus z drugiego etapu LXI, gdzie niektórzy doszli do nietrywialnych wniosków w zadaniu z równaniem funkcyjnym i dostali zero), no ale tradycja często okazuje się silniejsza w takich sprawach (nie mówię, że to dobrze, ani zresztą źle).
W sumie dziwnie wyszło, że byłeś finalistą przy trudniejszym drugim etapie, a przy łatwiejszym nie, no ale przecież nie przepadły te umiejętności i rozwój, jeden słabszy dzień (bo tak należy traktować niezrobienie wszystkiego w 1. dniu LXX przez kogoś, kto już był w finale) tego nie przekreśla.

Nowe zadanie:
w rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots x_n}\) (\(\displaystyle{ n>3}\)) spełniających warunek \(\displaystyle{ x_1 x_2\ldots x_n=1}\) proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1+x_1x_2} +\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\ldots+\frac{1}{1+x_n+x_n x_1}>1}\)

[albanczyk123456]

Przyjmuję \(\displaystyle{ x_{1}=x_{n+1}}\)
Z nierówności między średnimi mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}}{n}\geq \sqrt[n]{(x_{1}x_{2}...x_{n})^{2}}=1 \\
\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}\geq n\\
\sum_{i=1}^{n}x_{i} \geq n\cdot\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}=n}\).
Teraz bierzemy nierówność między średnią arytmetyczną oraz harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}+x_{i}x_{i+1}}}{n} \geq \frac{n}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}}\\
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}+x_{i}x_{i+1}} \geq \frac{n^{2}}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \geq \frac{n^{2}}{n+n+n} = \frac{n}{3}>1}\)

Gdyby się okazało że jest dobrze to nowe zadanie proponuje takie: \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R} \wedge x^{2}+y^{2}\leq2 \Rightarrow xy+3\geq2(x+y).}\)

[Premislav]

Niestety nierówność
$$ \frac{n^{2}}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \geq \frac{n^{2}}{n+n+n}$$
jest nieprawdziwa, z szacowań, które napisałeś, wynika nierówność z przeciwnym zwrotem.