[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

[Wasilewski]

Jeszcze ewentualnie mogłyby się zdarzyć jakieś ekstrema w tym przedziale. Poszukam jeszcze innej metody, bo obliczenia są paskudne; chyba nawet mi wyszło, że ta funkcja jest rosnąca (nawet do trójki, dla której przyjmuje wartość 1), ale potwierdziłem to sobie wykresem.

[frej]

To może teraz coś takiego
\(\displaystyle{ (a+b+c)^3 a(a^2+8bc) \\ a,b,c \mathbb{R}_{+}}\)

Ma ktoś jakiś pomysł? Najlepiej dokładniej pokazać jak, a nie powiedzieć o rozbiciu nawiasów jakimś Muirheadzie, Schurze , AM-GM czy jakimś dobrym zwinięciu...

A tak btw słyszeliście o takim Cauchym Schwarzu, że z lewej strony jest iloczyn trzech nawiasów a z prawej do sześcianu? Mógłby mi to ktoś pokazać? Nazywa to się jakoś szczególnie?

[Sylwek]

a nie powiedzieć o rozbiciu

Hm... ale tak idzie od ręki

\(\displaystyle{ L-P=(\sum_{sym} a^3 + 3\sum_{sym}a^2b + 6abc)-(\sum_{sym}a^3+24abc)= \\ =3 \sum_{sym}a^2b - 18abc 3 6 \sqrt[6]{a^6b^6c^6}-18abc=0}\)

[frej]

Przepraszam was, nie liczyłem tego a okazało się nic nie warte. A coś o tym Cauchym słyszałeś, Sylwku ?

[Sylwek]

Chyba nie słyszałem, musiałbyś podać przykład i pokazać o co chodzi.

[frej]

\(\displaystyle{ (\frac {a}{\sqrt {a^2 + 8bc}} + \frac {b}{\sqrt {b^2 + 8ca}} + \frac {c}{\sqrt {c^2 + 8ab}})^2 (\sum_{cyc}{a(a^2 + 8bc)}) q(a + b + c)^3}\)

[limes123]

To jest nierownosc Holdera

[frej]

A na mathlinksie wciskali, że CS...
Trzeba jeszcze trochę poczytać o tej "egzotyce"...

[limes123]

Bo Holder to taki uogolniony CS:P

[Wasilewski]

Holder to jest Jensen dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^{k}, k>1}\) (choć można spokojnie stosować też dla ujemnych) z odpowiednio dobranymi współczynnikami, natomiast nierówność Cauchy'ego-Schwarza dostajemy dla k=2. frej, ta nierówność, którą napisałeś, jest już nawet na tej stronie, i to opatrzona komentarzem, że to nierówność Holdera.

[Jelen]

To ja wrzucę coś
\(\displaystyle{ a,b,c >0 \qquad abc=1}\)
Udowodnić, że
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(c+a)+7\ge 5(a+b+c)}\)

wymnażamy, przekształcamy do postaci
\(\displaystyle{ (a+b+c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 5) - 6 \geqslant 0}\)

potem pokazujemy ze przy rozsuwaniu np a i b przy zachowaniu iloczynu a + b rosnie
\(\displaystyle{ a=max(a,b)}\)\(\displaystyle{ k>0}\)
\(\displaystyle{ ak + b \frac{1}{k} - (a+b) = (k-1)(a - \frac{b}{k} ) > 0}\)
wiec
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 5) = min}\)
dla a = b = c = 1[/latex]

[Piotr Rutkowski]

Temat się rozwija i bardzo dobrze.

frej może chodziło Ci o taką nierówność?:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{3})(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{3})(\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{3})\geq (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}c_{i})^{3}}\) (dla dodatnich oczywiście)
Jest ona prawdziwa, ale jakoś specjalnie się ona nie nazywa...

Co do mathlinksa, radę tam zawsze uważnie czytać posty, bo po pół strony rozwiązania ta "obvious inequality" wymaga jeszcze ładnych paru linijek uzasadnienia...
Holdera na polskim OM-ie się chyba nie uświadczy, jeśli już to na Zwardoniu w "alternatywnym" rozwiązaniu zadania.
Ten temat trochę mnie zainspirował i po 8 stycznia uzupełnię artykuł o nierównościach o parę innych ciekawych nierówności
Notka jeszcze odnośnie Jensena, wpiszcie w google kalkulator pochodnych i na wiki będzie odnośnik do fajnej stronki

[Dumel]

Ten temat trochę mnie zainspirował i po 8 stycznia uzupełnię artykuł o nierównościach o parę innych ciekawych nierówności

to skoro chce Ci sie coś doposywać, to moje 2 sugestie:
nierówność Vasca.
uogólniona nierówność Jensena (wyczaiłem to tu: ale nigdzie nic o tym nie znalazłem)

[Piotr Rutkowski]

nierówność Vasca.

Zdaje mi się, że takowych jest kilka (-naście?). Vascile Cirtoaje napisał kilka książek o nierównościach i jest współautorem kilku ważnych technik ich rozwiązywania. Przeszukam moje pdf-y i zobaczę co da się zrobić

EDIT: Zdaje mi się, że uogólniona nierówność Jensena to po prostu Jensen wielu zmiennych. Nie pamiętam dokładnie jak to leciało, ale badając wklęsłość/wypukłość takich funkcji budujemy macierz pochodnych drugich rzędów (w zależności od wybranej zmiennej) i liczymy z nich wyznacznik, czy jakoś tak...

[andkom]

\(\displaystyle{ a,b,c >0 \qquad abc=1}\)
Udowodnić, że
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(c+a)+7\ge 5(a+b+c)}\)

Widzialem gdzies podobny przyklad (ale oczywiscie latwiejszy)
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1)}\) dla abc=1.

Istotnie, druga nierówność jest słabsza od pierwszej.
Jeśli mamy już pierwszą, to drugą można dostać z pierwszaj przez dodanie do niej stronami nierówności
\(\displaystyle{ a+b+c\ge3}\) (to jest nierówność AM-GM dla a, b i c)
i proste przekształcenia.

A jak można wzmocnić nierówność, którą napisał frej?
Okazuje się, że najmocniejsza nierówność tego typu to
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(c+a)-8\ge A(a+b+c-3)}\)
gdzie A jest największym pierwiastkiem równania
\(\displaystyle{ 16x^3+45x^2-1080x+1728=0}\)
i wynosi około 5,70288. (W nierówności freja mamy A=5, a w nierówności limesa mamy A=4.)