[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

[binaj]

narysowałem sobie \(\displaystyle{ x^2-x}\) oraz \(\displaystyle{ x^{m+1}-x^m}\) dla parametru \(\displaystyle{ m}\) większego od \(\displaystyle{ 1}\) i ten drugi wykres leżał "nad" pierwszym, o to mi chodziło

[Dumel]

1. Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1,x_2,...x_n}\) spełniają warunek:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_{i} \le \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}\)
Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ t}\) większej od 1 zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{t} \le \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{t+1}}\)

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ 1 \le \frac{ \sum_{}^{} x_i^2}{ \sum_{}^{} x_i} \le \frac{ \sum_{}^{} x_i^{t+1}}{ \sum_{}^{} x_i^t}}\)(ostatnia nierówność równoważna nierówności \(\displaystyle{ 0 \le \sum_{i \neq j}^{}x_ix_j(x_i^{t-1}-x_j^{t-1})(x_i-x_j)}\))

-- 30 lipca 2009, 14:24 --

aha teraz widze że binaj ma to samo

-- 30 lipca 2009, 14:30 --

Pierwsze zadanie Dumla:https://matematyka.pl/84787,25.htm

oświecisz mnie może w którym poście?

[frej]

Ups, pomyłka... chodziło mi o 14 post, ale z tego co widzę, to trochę inne zadanie, choć wygląda bardzo podobnie. Kojarzyłem, że widziałem już coś podobnego tutaj, ale widać nie pamiętałem dokładnie

[Dumel]

poprawiłem treść tego zadania

[binaj]

\(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_i \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i=1}\)
wyznaczyć w zależności od \(\displaystyle{ n}\) maksymalną wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ S=\sum_{cyc}^{}a_ia_{i+1}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_1}\)
oraz podać wszystkie ciągi \(\displaystyle{ (a_i)}\) liczb realizujących to maksimum.

dla \(\displaystyle{ n=2}\), \(\displaystyle{ max.(S)= \frac{1}{2}}\)
dla \(\displaystyle{ n=3}\), \(\displaystyle{ max.(S)= \frac{1}{3}}\), bo \(\displaystyle{ xy+yz+zx \le \frac{1}{3}(x+y+z)^2}\)

dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)
teraz przyjmując \(\displaystyle{ a_1=a_2= \frac{1}{2}}\), mamy \(\displaystyle{ max(S) \ge \frac{1}{4}}\)
z drugiej strony \(\displaystyle{ S \le (a_1+a_3+...)(a_2+a_4+...)=Q(1-Q) \le \frac{1}{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ Q=(a_1+a_3+...)}\) zatem \(\displaystyle{ max(S) = \frac{1}{4}}\)

wszystkimi ciągami realizującymi to maksimum są \(\displaystyle{ a_1=t,a_2= \frac{1}{2},a_3=\frac{1}{2}-t,a_4=a_5=...=a_n=0}\), \(\displaystyle{ ( 0\le t \le\frac{1}{2} )}\) oraz ich cykliczne permutacje
(po prostu patrzymy co się musi zerować oraz mamy, że \(\displaystyle{ Q=\frac{1}{2}}\))

[Dumel]

z drugiej strony \(\displaystyle{ S \le (a_1+a_3+...)(a_2+a_4+...)=Q(1-Q) \le \frac{1}{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ Q=(a_1+a_3+...)}\) zatem \(\displaystyle{ max(S) = \frac{1}{4}}\)

jeszcze musisz to doszlifować bo pierwsza nierówność nie jest oczywista dla nieparzystych n (gubisz składnik \(\displaystyle{ a_na_1}\))

[frej]

poprawiłem treść tego zadania

W takim razie to takie samo zadanie

3 od Dumla

Z Holdera i AM-GM mamy
\(\displaystyle{ n^{k-1} \suma a_i^{k} \ge \left( \sum a_i \right)^k \ge n^{k-1} \sum a_i}\)

[Dumel]

^moje rozwiązanie identyczne

ta nierówność mi się podoba bo jest ładna mimo że niejednorodna:
dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\):
\(\displaystyle{ x^4+y^4+(x^2+1)(y^2+1) \ge x^3(1+y)+y^3(1+x)+x+y}\)

[frej]

Wymnożyć i AM-GM. Jest w suplemencie KMDO. 200 czy jakoś tak

[Dumel]

aha ja to akurat ze Zwardonia wziąłem
a moje rozwiązanie jest takie jak rozwiązanie Sylwka z tamtego tematu

[Lolek271]

Niech \(\displaystyle{ a _{1}...a _{n}}\) będą liczbami nieujemnymi, dla których zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a _{i} ^{2}>0}\) Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zachodzi

\(\displaystyle{ x ^{2}+x( \sum_{i=1}^{n}a _{i} ) ^{2}+n ^{3} \sum_{i=1}^{n}a _{i} ^{4}>0}\)

Moje rozpoczęcie

Ukryta treść:    

Trzeba uzasadnić, że \(\displaystyle{ \Delta<0}\).Dochodzę do nierówności \(\displaystyle{ 4n ^{3} \sum_{i=1}^{n}a ^{4} _{i}>( \sum_{i=1}^{n}a _{i} ) ^{4}}\) Tutaj brak pomysłów...

[alchemik]

\(\displaystyle{ 4n^{3} \sum_{i=1}^{n}a _{i}^{4} =4n^{4} ( \sqrt[4]{\frac{\sum_{i=1}^{n}a _{i} ^{4}}{n}} )^{4} \ge 4n^{4}(\frac{\sum_{i=1}^{n}a _{i} }{n})^{4}=4 (\sum_{i=1}^{n}a _{i} )^{4}>(\sum_{i=1}^{n}a _{i} )^{4}}\)

[Dumel]

dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) udowodnić że :
\(\displaystyle{ \sum_{cyc} \frac {2x^2(y + z)}{(x + y)(x + z)} \leq x + y + z}\)
nie-chamskie rozwiązanie poszukiwane
mój jedyny pomysł który nie padł po sprawdzeniu pierwszych lepszych nierównych liczb to

Ukryta treść:    

nierówność Minkowskiego dla mianowników (tzn \(\displaystyle{ \sqrt{(a+b)(a+c)} \ge a+ \sqrt{bc}}\)) . potem próbowałem zbliżeniami lub z Czebyszewa ale nie dociągnąłem do końca

[frej]

\(\displaystyle{ x-\frac{2x^2(y+z)}{(x+y)(x+z)}= \frac{x(x-y)(x-z)}{(x+y)(x+z)}}\)

[Dumel]

dzięki
dalej można łatwo dokończyć tak jak sie dowodzi nierówność Schura