[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 29 kwie 2021, o 19:20

Ukryta treść:    
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 29 kwie 2021, o 19:54

Znakomicie, czekamy na następny problemat.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 29 kwie 2021, o 21:40

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3-1=3(x-1)(y-1)(z-1)}\). Udowodnij, że $$x+y+z\le 2.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 29 kwie 2021, o 23:36

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 30 kwie 2021, o 06:53

Jak najbardziej.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 30 kwie 2021, o 10:20

Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n\ge 2}\). Proszę znaleźć najmniejszą stałą dodatnią \(\displaystyle{ \lambda}\), dla której nierówność
\(\displaystyle{ a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\le \lambda(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots+a_{n}b_{n})}\)
zachodzi dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_{1}, \ldots a_{n}, \ b_{1}\ldots b_{n}}\) spełniających warunki
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}=1, \ \max_{1\le i\le n}b_{i}\le \frac{1}{2}}\).

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 7 maja 2021, o 20:53

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 7 maja 2021, o 20:59

Fantastycznie, czas na następną nierówność.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 7 maja 2021, o 21:17

Tym razem to raczej nie będzie one-liner, ale też i nie jest to jakoś wyjątkowo wydumane zadanie.

Dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a\ge b+c}\). Udowodnij, że $$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{6(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge 12.$$
Do poprzedniego:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 9 maja 2021, o 01:43

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 9 maja 2021, o 02:46

Nie mam zastrzeżeń.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 9 maja 2021, o 07:27

Nowe zadanie:
proszę wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a,b,c,d,e\in \RR, \ 2a^2<5b}\), to wielomian
\(\displaystyle{ P(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}\) ma pierwiastek zespolony nierzeczywisty.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 10 maja 2021, o 06:15

Do poprzedniego:    
Bieżące:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 10 maja 2021, o 11:27

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{2n}}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2n-1}\left(a_{i+1}-a_{i}\right)^2=1}\).
Proszę znaleźć największą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sum_{i=n+1}^{2n}a_{i}-\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 28 maja 2021, o 12:04

Cóż, brak zainteresowania, jak widzę.
szkic:    
Nowe zadanie:
\(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są kątami wewnętrznymi trójkąta nierozwartokątnego. Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{\ctg \alpha}+\sqrt{\ctg \beta}+\sqrt{\ctg \gamma}\ge 2}\).

ODPOWIEDZ