Edycja: \(\displaystyle{ A\le\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)}\), zmieniono powyżej.
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Można kontynuować.
Dodano po 59 minutach 58 sekundach:
Edycja: \(\displaystyle{ A\le\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)}\), zmieniono powyżej.
Ukryta treść:
Edycja: \(\displaystyle{ A\le\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)}\), zmieniono powyżej.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Niech liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) spełniają równość \(\displaystyle{ abc=8}\).
Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{\sqrt{\left(1+a^{3}\right)\left(1+b^{3}\right)}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{\left(1+b^{3}\right)\left(1+c^{3}\right)}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{\left(1+c^{3}\right)\left(1+a^{3}\right)}} \ge \frac{4}{3}}\)
Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{\sqrt{\left(1+a^{3}\right)\left(1+b^{3}\right)}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{\left(1+b^{3}\right)\left(1+c^{3}\right)}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{\left(1+c^{3}\right)\left(1+a^{3}\right)}} \ge \frac{4}{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Oznaczenia jak w poprzednim zadaniu ode mnie. Dodatkowo \(\displaystyle{ R}\) oznacza promień okręgu opisanego, a \(\displaystyle{ r}\) - wpisanego.
Należy udowodnić, że w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność $$\frac{m_a}{w_a}+\frac{m_b}{w_b}+\frac{m_c}{w_c}\le 1+\frac{R}{r}.$$
Należy udowodnić, że w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność $$\frac{m_a}{w_a}+\frac{m_b}{w_b}+\frac{m_c}{w_c}\le 1+\frac{R}{r}.$$
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Czas zmienić zadanie. Oznaczmy \(\displaystyle{ a+b+c=2s}\). Reszta oznaczeń jak w dwóch ostatnich zadaniach ode mnie.
Udowodnij, że w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność $$m_aw_a+m_bw_b+m_cw_c\ge s^2.$$
Udowodnij, że w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność $$m_aw_a+m_bw_b+m_cw_c\ge s^2.$$
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ukryta treść:
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean_Dupas
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Nowe zadanie:
niech liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c=3}\). Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\le \frac{3}{2}}\).
niech liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c=3}\). Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\le \frac{3}{2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) udowodnij $$a^2+b^2+c^2\ge a\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+b\sqrt[3]{\frac{c^3+a^3}{2}}+c\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}.$$
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Następne zadanie:
niech \(\displaystyle{ x_{1}, \ x_{2}, \ldots x_{n}, \ p}\) będą liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi warunek
'\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=np}\). Proszę wykazać nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}!\ge n(p!) }\)
niech \(\displaystyle{ x_{1}, \ x_{2}, \ldots x_{n}, \ p}\) będą liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi warunek
'\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=np}\). Proszę wykazać nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}!\ge n(p!) }\)