[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 18 maja 2020, o 23:55

Aha, Twoja kolej.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14868
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4925 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 19 maja 2020, o 00:31

NB masz może jakiś elegancki sposób na b) :?: Mój polega na sprowadzeniu problemu do przypadku \(\displaystyle{ b=c}\), ale ładne to nie jest.

Nowe zadanie:
W dodatnich spełniających warunek \(\displaystyle{ a+b+c\ge abc}\) proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2\ge \sqrt{3}abc}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 19 maja 2020, o 00:49

Nie, moje rozwiązanie jest dość długie i raczej brzydkie. Problem sygnuje Giugiuc, więc może być tak, że eleganckie rozwiązanie nie jest znane nawet autorowi.
Ukryta treść:    
Dodano po 1 dniu 23 godzinach 43 minutach 52 sekundach:
Bieżące zadanie:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14868
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4925 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 21 maja 2020, o 12:07

Faktycznie, ależ ze mnie kretyn, przeoczyłem w tym b) przypadek równości \(\displaystyle{ a=2, \ b=1, \ c=0}\). :| Swoją drogą różnica poziomów dwóch podpunktów nie taka mała, to był jakiś test skłonności do sięgania po low-hanging fruits?

Oczywiście rozwiązanie mojego zadania jest poprawne (i chyba możliwie najprostsze), możesz wrzucać kolejne.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 21 maja 2020, o 14:00

Weryfikacja mojej spostrzegawczości. Miałam podobne odczucia, jeżeli chodzi o różnicę poziomów, więc dopuszczałam możliwość istnienia jakiegoś prostego i łatwo dostrzegalnego rozwiązania, które mi umknęło. Wciąż ją dopuszczam.

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z\in\left[-1,1\right]}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x+y+z=\frac{1}{2}}\). Udowodnij, że $$xy+yz+zx+\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{xyz+1}{2}}\ge 0.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14868
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4925 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 22 maja 2020, o 12:04

Ukryta treść:    


Można prosić o mniej benedyktyńskie (pożyczam określenie, bo mi się podoba) rozwiązanie lub wskazówkę do takowego?

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 22 maja 2020, o 15:05

Tak, moim zdaniem to jest ok. Jeżeli się dobrze doczytuję, to z tych wniosków po drodze wychodzi wręcz, że wystarczy rozważać tylko \(\displaystyle{ s\ge 1}\), a przez to sporo rzeczy odpada.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14868
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4925 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 22 maja 2020, o 18:21

O, no to wygląda nieporównywalnie lepiej. Dość szybko wymyśliłem, że równość jest dla \(\displaystyle{ \left(-1, \frac{1}{2}, 1\right)}\) i permutacji, ale dłubałem, dłubałem w celu wyprodukowania jakiegoś oszacowania tego iloczynu, no i nie wydłubałem.

Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ a,b,c\in \left[0,\frac{1}{2}\right]}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c=1}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}+4abc\le \frac{9}{32} }\)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1328
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 23 maja 2020, o 13:10

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14868
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4925 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 23 maja 2020, o 20:38

Nie widzę błędu, możesz wrzucać następne. Pamiętam, że Mildorf na tym przykładzie zaprezentował metodę mnożników Lagrange'a. Mnie się tego nie udało zrobić elementarnie bez rozważenia przypadków.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1328
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 23 maja 2020, o 21:32

Dla rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) takich, że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) pokazać, że

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt{c+2a}} < \sqrt{\frac{3}{2}}.}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 25 maja 2020, o 17:34

Ukryta treść:    
Wrzucam też swoją wersję rozwiązania poprzedniego zadania, bo i tak ją miałam w kopiach roboczych, a szkoda mi kasować.
Poprzednie:    

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1328
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 25 maja 2020, o 19:25

Zadanie wziąłem z tego pdfa (ex 2.1.10). Sam nie umiem rozwiązać, więc podrzuciłem tutaj. Dzięki @bosa_Nike za sprostowanie (i odnośnik do pqr) : )

To nowe zadanko:

Dla liczb rzeczywistych pokazać, że zachodzi

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2} \ge \frac{3\sqrt{2}}{2}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14868
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4925 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 25 maja 2020, o 20:05

Ukryta treść:    

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1328
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 25 maja 2020, o 20:34

Przy QM-AM powinny być chyba jeszcze moduły (jako, że \(\displaystyle{ a+b+c}\) może być większe niż \(\displaystyle{ 3}\) lub ujemne). Tak czy inaczej, można to przeszacować dalej przez wyrażenie bez modułu, więc jest ok.

ODPOWIEDZ