[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
W nieujemnych \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\) takich, że \(\displaystyle{ a + b + c = 1}\) wykazać:
\(\displaystyle{ a^{4}\left( b - c \right) + b^{4}\left( c - a\right) + c^{4}\left( a - b \right) \ge a\left( b - c\right)^{3} + b\left( c - a \right)^{3} + c\left( a - b\right)^{3}}\)
\(\displaystyle{ a^{4}\left( b - c \right) + b^{4}\left( c - a\right) + c^{4}\left( a - b \right) \ge a\left( b - c\right)^{3} + b\left( c - a \right)^{3} + c\left( a - b\right)^{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Już po OMJ, a skoro za poprzednie się nikt z uczestników tu nie wziął, to winy za niewielką popularność łańcuszka nie ma co zrzucać na dużą trudność zadań.
Dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) udowodnij \(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{2abc}{a^3+b^3+c^3}\ge\frac{11}{3}}\)
Ukryta treść:
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ukryta treść:
niech liczby \(\displaystyle{ a_0, \ a_1, \ldots a_n}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \frac \pi 2\right)}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}\tg\left( a_i-\frac \pi 4\right) \ge n-1}\).
Proszę wykazać, że \(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{n} \tg a_i\ge n^{n+1}}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Świetnie. Jakby ktoś był zainteresowany, jest to zadanie 3. z USAMO 1998, rozwiązanie wzorcowe (zapewne) można zobaczyć .
Zadajesz (chyba że nie chcesz), bosa_Nike.
Kod: Zaznacz cały
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1998_USAMO_Problems/Problem_3
Zadajesz (chyba że nie chcesz), bosa_Nike.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Pozwolę sobie wkleić podobne rozwiązanie tego z tangensem, bo zacząłem pisać wcześniej i miałem to dziś umieścić
I nawet miałem przygotowane następne, więc się wetnę:
Pokaż, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b, c > 0}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2-ab+b^2} + \sqrt{b^2-bc+c^2} \ge \sqrt{a^2+ac+c^2}}\).
To z tangensem:
Pokaż, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b, c > 0}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2-ab+b^2} + \sqrt{b^2-bc+c^2} \ge \sqrt{a^2+ac+c^2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
No nie, to jest nieludzkie. Nie dość, że się pod koniec redagowania odpowiedzi zorientowałam, że rozwiązałam inne zadanie, musiałam przerobić całe rozwiązanie i wpisać je na nowo, to jeszcze Sylwek się przyznaje, że miał, ale nie wrzucił. Proszę mi się na przyszłość pospieszyć, bo ja mam okna do mycia.
Dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c=3}\) udowodnij
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\left(\frac{abc}{3}-1\right)(abc-1)\ge (1-a)(1-b)(1-c)}\)
Bieżące:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\left(\frac{abc}{3}-1\right)(abc-1)\ge (1-a)(1-b)(1-c)}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Dzięki za sprawdzenie. Wrzucam nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) będzie ustalone. Proszę znaleźć wszystkie takie \(\displaystyle{ m\in \NN^+}\), że nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\ge a^m+b^m}\) zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb \(\displaystyle{ a,b}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ a+b=2.}\)
niech \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) będzie ustalone. Proszę znaleźć wszystkie takie \(\displaystyle{ m\in \NN^+}\), że nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\ge a^m+b^m}\) zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb \(\displaystyle{ a,b}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ a+b=2.}\)
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Oboje bardzo pięknie!
Zachęcam powymyślać podobne nierówności i ciachać kąt \(\displaystyle{ 60^o, 75^o, 90^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o, 165^o}\) czy \(\displaystyle{ 180^o}\) na części mające \(\displaystyle{ 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, 120^o, 135^o}\) czy \(\displaystyle{ 150^o}\).
Lub inne, mniej przyjemne dla oka wartości.
Zachęcam powymyślać podobne nierówności i ciachać kąt \(\displaystyle{ 60^o, 75^o, 90^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o, 165^o}\) czy \(\displaystyle{ 180^o}\) na części mające \(\displaystyle{ 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, 120^o, 135^o}\) czy \(\displaystyle{ 150^o}\).
Lub inne, mniej przyjemne dla oka wartości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Finał OM przeszedł bez echa, tutaj też wiele się już nie zdarzy - może warto pomyśleć o zmianie zadania.
Nierówność zamieszczona przez Premislava to zadanie 2. z drugiego dnia zawodów OM z Bułgarii z 2008 roku - do znalezienia w dziale Contests na aops. Ja porzuciłam ten problem po zrobieniu ok. połowy z trzypunktowego planu alternatywnego rozwiązania, odstręczona rozmiarem i bez przekonania o skuteczności pomysłu.
Nierówność zamieszczona przez Premislava to zadanie 2. z drugiego dnia zawodów OM z Bułgarii z 2008 roku - do znalezienia w dziale Contests na aops. Ja porzuciłam ten problem po zrobieniu ok. połowy z trzypunktowego planu alternatywnego rozwiązania, odstręczona rozmiarem i bez przekonania o skuteczności pomysłu.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Mnie się nie chce pisać rozwiązania, wiec po prostu zmienię nierówność.
Nowa (jak już ten wątek poruszyłaś; no cóż, leniwy jestem):
niech liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_0, a_1\ldots a_n}\) będą takie, że \(\displaystyle{ a_0\in \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ a_i\le a_{i-1}+1}\) dla \(\displaystyle{ i\in\left\{ 1,2\ldots n\right\}}\). Proszę znaleźć jak najmniejszą stałą dodatnią \(\displaystyle{ C}\), dla której nierówność
\(\displaystyle{ n\le Ca_0 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}}\)
zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ a_0, \ldots a_n}\) spełniających powyższe warunki.-- 20 kwi 2019, o 14:43 --Jezuu, nie patrzyłem przez tydzień na ten wątek i teraz widzę, że zgubiłem istotne założenie, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\le 1}\). Dopiszę jutro, bo teraz pies z kulawą nogą tego nie zauważy.
Nowa (jak już ten wątek poruszyłaś; no cóż, leniwy jestem):
niech liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_0, a_1\ldots a_n}\) będą takie, że \(\displaystyle{ a_0\in \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ a_i\le a_{i-1}+1}\) dla \(\displaystyle{ i\in\left\{ 1,2\ldots n\right\}}\). Proszę znaleźć jak najmniejszą stałą dodatnią \(\displaystyle{ C}\), dla której nierówność
\(\displaystyle{ n\le Ca_0 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}}\)
zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ a_0, \ldots a_n}\) spełniających powyższe warunki.-- 20 kwi 2019, o 14:43 --Jezuu, nie patrzyłem przez tydzień na ten wątek i teraz widzę, że zgubiłem istotne założenie, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\le 1}\). Dopiszę jutro, bo teraz pies z kulawą nogą tego nie zauważy.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Bardzo przepraszam, nieuważnie przepisywałem treść, zgubiłem założenie o \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\le 1}\) (bez tego oczywiście nie działa!). Naprawdę mi wstyd. Ale i tak myślę, że wrzucanie tego zadania tutaj nie miało większego sensu (bo trochę za łatwe, a jeszcze zepsułem treść).
... m70_3r.pdf
Zadanie piąte (bardzo łatwo poprawić stałą na \(\displaystyle{ 3}\), a znając trochę analizy na \(\displaystyle{ e}\), natomiast to, co w tym było dla mnie najzabawniejsze, to że gubiąc pewien warunek, myślałem po chwili, że poprawiłem stałą na \(\displaystyle{ 2}\), a otóż nie, gdyż aż tak dobrze się nie da). Swoją drogą trochę słabo, że nie dość, że idzie na samej AM-HM bez żadnego pomysłu, to jeszcze forma nierówności narzuca taką drogę.
Może teraz coś takiego na rozruszanie:
niech \(\displaystyle{ n>2, \ x_1, x_2, \ldots x_n\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_{i}+x_{i+1}>0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots n}\), przy czym przyjmujemy, że \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_1}\). Proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ 1< \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{i}+x_{i+1}}<n-1}\)
... m70_3r.pdf
Zadanie piąte (bardzo łatwo poprawić stałą na \(\displaystyle{ 3}\), a znając trochę analizy na \(\displaystyle{ e}\), natomiast to, co w tym było dla mnie najzabawniejsze, to że gubiąc pewien warunek, myślałem po chwili, że poprawiłem stałą na \(\displaystyle{ 2}\), a otóż nie, gdyż aż tak dobrze się nie da). Swoją drogą trochę słabo, że nie dość, że idzie na samej AM-HM bez żadnego pomysłu, to jeszcze forma nierówności narzuca taką drogę.
Może teraz coś takiego na rozruszanie:
niech \(\displaystyle{ n>2, \ x_1, x_2, \ldots x_n\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_{i}+x_{i+1}>0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots n}\), przy czym przyjmujemy, że \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_1}\). Proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ 1< \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{i}+x_{i+1}}<n-1}\)