[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1524
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 425 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 12 wrz 2012, o 12:16

Marcinek665 pisze:Liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są pozytywne i realne oraz spełniają \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}\). Udowodnić, że zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{a}{a^{3}+bc}+\frac{b}{b^{3}+ca}+\frac{c}{c^{3}+ab}>3}\).
rozwiązanie:    
nowe, tym razem łatwe: dodatnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) sumują się do jedności, wykazać że wtedy \(\displaystyle{ 10(a^3+b^3+c^3) \ge 1 + 9(a^5+b^5+c^5)}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Vax » 16 paź 2012, o 16:40

Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3=0 \Rightarrow \left((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right)(a^4+b^4+c^4) \ge (a^2+b^2+c^2)^3}\)

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: marcin_smu » 16 paź 2012, o 22:01

Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ n \ge 1 \Rightarrow \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{2}{3}}\)

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Ponewor » 16 paź 2012, o 23:17

Ukryta treść:    
Zanim coś znajdę do wrzucenia, proszę o sprawdzenie, bo mam wrażenie, że to wszystko to jeden wielki bełkot.

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: marcin_smu » 17 paź 2012, o 23:16

Jest spoko, daj następną

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Marcinek665 » 19 paź 2012, o 11:30

Ponewor, już któryś raz wrzucasz rozwiązanie, nie dając nowej nierówności. Może lepiej wcale nie pisz, skoro masz blokować łańcuszek?

\(\displaystyle{ x,y,z>-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2.}\)

Awatar użytkownika
cyberciq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 43 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: cyberciq » 19 paź 2012, o 14:06

Marcinek to już było kiedyś


edit: Zdawało mi się, że to tu było gdzieś tak z 6-7 mies temu, ale nie mogę znaleźć... na wszelki wypadek rozwiązanie daję:
Ukryta treść:    
Nowe:\(\displaystyle{ a,b,c \ge 0 \wedge ab+bc+ca = 1 \Rightarrow \frac{1}{2a+2bc+1}+\frac{1}{2b+2ca+1}+\frac{1}{2c+2ab+1}\ge 1}\)
pozdrawiam

Awatar użytkownika
chomikchomik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 wrz 2012, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: chomikchomik » 25 paź 2012, o 20:07

Coś łatwiejszego, żeby nie bloczyło.
Wyznaczyć najmniejszą wartość sumy:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{(ay + bz)(az + by)} + \frac{ y^{2} }{(ax + bz)(az + bx)} + \frac{ z^{2} }{(ax + by)(ay + bx)}}\)
gdzie a, b są danymi, x, y, z są dowolnymi liczbami dodatnimi.

Awatar użytkownika
cyberciq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 43 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: cyberciq » 26 paź 2012, o 14:36

chomikchomik pisze:Coś łatwiejszego, żeby nie bloczyło.
Wyznaczyć najmniejszą wartość sumy:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{(ay + bz)(az + by)} + \frac{ y^{2} }{(ax + bz)(az + bx)} + \frac{ z^{2} }{(ax + by)(ay + bx)}}\)
gdzie a, b są danymi, x, y, z są dowolnymi liczbami dodatnimi.
jak już wrzuciłeś swoje, to OK, więc teraz obowiązuje zadanie chomikchomik ;p Ale na przyszłość proponuję postępować wg zasad:
1. Osoba, która rozwiąże poprzednie zadanie wrzuca swoje
2. Jeśli zadanie na kolejce nie jest rozwiązane to:
a)poproś osobę której zadanie jest na kolejce o zmianę zadania na łatwiejsze
b)jeśli chcesz wrzucić swoje zadanie to poproś o zgodę osobę której zadanie jest na kolejce lub ewentualnie innych forumowiczów jeśli dana osoba nie odpowiada( do 1-2 dni?)
3. Jeśli chcesz wrzucić nowe zadanie bez kolejki to jeśli to nie jest super-ważny/-ciekawy problem, który wymaga rozwiązania "na już" to idź do punktu 2b)

Nie chodzi o to, żeby blokować łańcuszek bo to bez sensu, ale o to żeby nie zostawiać jakichś zadań nierozwiązanych później,

pozdrawiam

Awatar użytkownika
chomikchomik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 wrz 2012, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: chomikchomik » 26 paź 2012, o 17:46

chciałem sobie poćwiczyć latexa, bo to mój pierwszy raz. wiem, jak działają łańcuszki, ale to jest banał, więc nie powinien bloczyć. można przecież robić dwa symultanicznie.

-- 26 paź 2012, o 18:17 --

poza tym może kiedyś łaskawie rozwiążę tą nierówność i będzie git.

-- 7 lis 2012, o 15:50 --

podpowiedź
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Ponewor » 23 lis 2012, o 20:08

To żeby rozwiązać problem zrobimy tak: Oto rozwiązanie nierówności chomikchomika. Zadanie pochodzi z niebieskiego Pawłowskiego, z rozdziału 7. - Zadania różne, ale do tego rozdziału rozwiązań nie ma.
Nierówność chomikachomika:    
Aktualnie obowiązującą nierównością jest nierówność cyberciqa:
cyberciq pisze: Nowe:\(\displaystyle{ a,b,c \ge 0 \wedge ab+bc+ca = 1 \Rightarrow \frac{1}{2a+2bc+1}+\frac{1}{2b+2ca+1}+\frac{1}{2c+2ab+1}\ge 1}\)
pozdrawiam

Awatar użytkownika
chomikchomik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 wrz 2012, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: chomikchomik » 24 lis 2012, o 14:36

syfiaste rozwiązanie mojej nierówności!!! >:( pewnie dobrze (wynik git), ale tu masz prawie firmówkę (chomiczówkę):
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Ponewor » 25 lis 2012, o 13:30

Dalej to już po prostu nierówność
Nesbitta - ciągi jednomonotoniczne to jeden z dowodów.

cyberciq można prosić o hinta?

Awatar użytkownika
cyberciq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 43 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: cyberciq » 25 lis 2012, o 16:13

hint, nie znam ładniejszego sposobu na razie:    

Awatar użytkownika
cyberciq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 43 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: cyberciq » 20 gru 2012, o 07:01

Dobra nie idzie ta moja nierówność długo. Teraz nie wrzucam rozwiązania bo czasu nie mam za bardzo pisać, a to które znam jest troszkę mało pomysłowe, myślałem, że może ktoś pokaże jakieś ładne. Wrzucajcie sobie co chcecie.

ODPOWIEDZ