[Planimetria][Nierówności] Udowodnij nierówność w trójkącie

[frej]

I etap II OMG zad. 4.

Zadanie brzmi:
W trójkącie \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ \left| ACB \right|=120^{\circ}}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \left| CM \right| \geqslant \frac{ \sqrt{3} }{6} \cdot \left| AB \right|}\)

Moje rozwiązanie:
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ a= \left| AM\right| = \left| MB\right|}\)
\(\displaystyle{ d= \left| CM \right|}\)
\(\displaystyle{ d \geqslant \frac{ \sqrt{3} }{6} \cdot 2a \Leftrightarrow d\sqrt{3} \geqslant a}\).

Rysunek pomocniczy:
Brak obrazka

Na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ \left| AB \right|}\) odłóżmy odcinek \(\displaystyle{ XM}\) o długości \(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{3}}}\) po tej samej stronie co \(\displaystyle{ d}\). Skoro
\(\displaystyle{ \left| ACB \right| = \left| AXB \right|}\), zatem można opisać okrąg przechodzący przez punkty \(\displaystyle{ A,B,C,X}\).

I teraz moje pytanie:
Czy wystarczy powiedzieć, że skoro Punkt \(\displaystyle{ C}\) leży na krótszym łuku \(\displaystyle{ \overset{\frown}{XA}}\) i \(\displaystyle{ \left| XM \right| =\frac{a}{\sqrt{3}}}\), \(\displaystyle{ \left| BM \right| =a}\), to \(\displaystyle{ d \in \left\langle\frac{a}{\sqrt{3}}, a\right)}\) ??

Jeśli nie, to co trzeba jeszcze napisać albo jak to udowodnić ?

Ten fakt oczywiście kończy zadanie.

Wszelkie inne sposoby rozwiązania tego zadania są mile widziane, mimo to chciałbym się dowiedzieć, czy dobrze rozwiązałem te zadanie.

[Pablo09]

\(\displaystyle{ |AB|=a,|BC|=c,|AC|=b}\)
trzeba udowdnić, że \(\displaystyle{ CM \geqslant \frac{ \sqrt{3} }{6} a}\) \(\displaystyle{ (*)}\),
ze wzrou na środkową \(\displaystyle{ CM= \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}\)
i wtedy \(\displaystyle{ (*)}\) jest równowazne do
\(\displaystyle{ 2(b^2+c^2)-a^2 \geqslant \frac{1}{3} a^2 \Leftrightarrow b^2+c^2 \geqslant \frac{2}{3}a^2}\) ,dalej z tw. cos \(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2+bc \Rightarrow 3(b^2+c^2 )\geqslant 2(b^2+c^2+bc) \Leftrightarrow (b-c)^2 \geqslant 0}\) ,ckd

[Dumel]

Czy wystarczy powiedzieć, że skoro Punkt \(\displaystyle{ C}\) leży na krótszym łuku \(\displaystyle{ \overset{\frown}{XA}}\) i \(\displaystyle{ \left| XM \right| =\frac{a}{\sqrt{3}}}\), \(\displaystyle{ \left| BM \right| =a}\), to \(\displaystyle{ d \in \left\langle\frac{a}{\sqrt{3}}, a\right)}\) ??

tak
musisz tylko zrobić lepszy rysunek, czyli taki który uwzględnia to że kąt \(\displaystyle{ BCA}\) jest rozwarty (czyli istnieje taka średnia że punty \(\displaystyle{ A,B,C}\) leżą po tej samej jej stronie) bo gdyby był ostry to oczywiście nie byłoby to prawdą