[Ciągi] Suma kwadratów n kolejnych liczb naturalnych

[martin1990]

Potrzebuję wyprowadzić wzór na sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2}\)

W "Kółku matematycznym dla olimpijczyków" H. Pawłowskiego znalazłem przedstawiony taki sposób:
Korzystając z oczywistej równości: \(\displaystyle{ (a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+...+(a_{n+1}-a_n)=a_{n+1}-a_1}\) przyjąć \(\displaystyle{ a_k=\frac{(2k-1)^3}{24}}\) i otrzymamy, że \(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)

Jednak mi wychodzi, że \(\displaystyle{ a_{k+1}-a_k=\frac{(2k+1)^3-(2k-1)^3}{24}=k^2+\frac{1}{12} k^2}\)
Gdzie jest błąd? Jak powinien wyglądać ten sposób na wyprowadzenie szukango wzoru? Może zna ktoś inny sposób na wyprowadzenie (nie udowodnienie). Z góry dziękuje za wszelką pomoc. Pzdr.

[adamadam]

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}i^3 + (n+1)^{3} = \sum_{i=0}^{n}(i+1)^3 = \sum_{i=0}^{n}i^3 + 3\sum_{i=0}^{n}i^2 + 3\sum_{i=0}^{n}i + (n+1)}\)
Stąd już łatwo dostaniesz ten wzór.

A w tym Pawłowskim jest bardzo dużo błędów, więc się nie dziw, że coś nie wychodzi

[Qń]

Nie ma błędu:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left(k^2 +\frac{1}{12}\right) = \frac{n}{12} + \sum_{k=1}^{n} k^2}\)

A ideę innego wyprowadzenia możesz znaleźć na przykład tu: https://matematyka.pl/53798.htm

Q.

[emator1]

A możecie napisać gdzie zdobyliście tą cenną księgę?

[limes123]

Ja mam, bo udało się zdobyć mojemu nauczycielowi ale jeszcze się za nią poważniej nie wziąłem, bo dużo nowych rzeczy i najpierw będę sobie musiał trochę więcej o nich poczytać ale niektórzy mają skany to popytaj.