[Ciągi] ciąg rekurencyjny-dowód

[robin5hood]

dany jest ciąg \(\displaystyle{ (F_n)}\) określony nastepująco: \(\displaystyle{ F_1 = 1; F_2 = -1; F_n = -F_{n-1} - 2\cdot F_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 3}\). Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n\geq 2}\) liczba \(\displaystyle{ 2^{n+1} - 7\cdot F_{n-1}^2}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

[levik]

dołączam się do prośby ...

[max]

Mamy \(\displaystyle{ F_{n} = Ax_{1}^{n-1} + Bx_{2}^{n-1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) to dwa różne pierwiastki równania kwadratowego:
\(\displaystyle{ x^{2} + x + 2 = 0}\)
oraz \(\displaystyle{ A = \frac{7 + i\sqrt{7}}{14}, \quad B = \frac{7 - i\sqrt{7}}{14}}\).
Stąd dla \(\displaystyle{ n\geqslant 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2^{n+3} - 7F_{n+1}^{2} = 2^{n+3} - 7 \left(Ax_{1}^{n} + Bx_{2}^{n}\right)^{2} =\\
= 2^{n+3} - 7\left(\left(Ax_{1}^{n}\right)^{2} + \left(Bx_{2}^{n}\right)^{2} + 2AB\left(x_{1}x_{2}\right)^{n}\right) =\\
=2^{n+3} - \left(\left(-ix_{1}^{n+1}\right)^{2} + \left(-ix_{2}^{n+1}\right)^{2} + 2^{n+2}\right) = \\
=2^{n+2} + x_{1}^{2(n+1)} + x_{2}^{2(n+1)}}\)
i teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ x_{2} = \frac{2}{x_{1}}}\), a więc:
\(\displaystyle{ 2^{n+2} + x_{1}^{2(n+1)} + x_{2}^{2(n+1)} = \left(x_{1}^{n+1} + x_{2}^{n+1}\right)^{2}}\)
a jak łatwo się przekonać dla każdego \(\displaystyle{ n\geqslant 0, \ n\in \mathbb{Z}}\) jest:
\(\displaystyle{ x_{1}^{n+1} + x_{2}^{n+1} \mathbb{Z}}\)
(bo np ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = x_{1}^{n+1} + x_{2}^{n+1}}\) spełnia rekurencję:
\(\displaystyle{ a_{0} = -1, \ a_{1} = -6, \ a_{n+2} = -a_{n+1} - 2a_{n}}\))
co kończy dowód.

To się bardziej nadawało do teorii liczb albo kółka.