[Planimetria] Środek ciężkości n-punktów.

[sogart]

1. Udowodnij, że jeżeli środkiem ciężkości punktów masowych \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, ... , A_{n-1}, A_{n}}\) o masach odpowiednio \(\displaystyle{ m_{1}, m_{2}, ... , m_{n-1}, m_{n}}\) jest punkt \(\displaystyle{ S}\) to \(\displaystyle{ m_{1}\vec{SA_{1}} + m_{2}\vec{SA_{2}} + ... + m_{n-1}\vec{SA_{n-1}} + m_{n}\vec{SA_{n}} = \vec{0}}\)

[Wasilewski]

Przecież to jest nieprawda. Weźmy sobie punkty:
\(\displaystyle{ A_1 = (0,0) , m_1 = 3 \\
A_2 = (2,0), m_2 = 1}\)
Oczywiście:
\(\displaystyle{ S = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \\
\vec{S A_1 } + \vec{S A_2} = \left[ -\frac{1}{2}, 0\right] + \left[ \frac{3}{2}, 0\right] = [1, 0]}\)
P.S. Chodzi raczej o środek masy. A to zachodzi chyba dla wszystkich mas równych.

[sogart]

Ale ja to zadanie wymyśliłem z innego zadania, którego treść brzmi tak:
Dane są punkty \(\displaystyle{ A_{1}=(x_{1};y_{1}), A_{2}=(x_{2};y_{2}), ... , A_{n-1}=(x_{n-1};y_{n-1}), A_{n}=(x_{n};y_{n})}\) Znajdź taki punkt \(\displaystyle{ S=(x;y)}\), że: \(\displaystyle{ m_{1}\vec{SA_{1}} + m_{2}\vec{SA_{2}} + ... + m_{n-1}\vec{SA_{n-1}} + m_{n}\vec{SA_{n}} = \vec{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ m_{1}, m_{2}, ... , m_{n-1}, m_{n}}\) są danymi liczbami dodatnimi. Punkt S nazywa sięśrodkiem masy układu punktów materialnych o masach \(\displaystyle{ m_{1}, m_{2}, ... , m_{n-1}, m_{n}}\).
A więc jak udowodnić, że ten punkt S jest rzeczywiście środkiem masy tego układu?

[Wasilewski]

Z definicji środek masy to:
\(\displaystyle{ \vec{S} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{A_i} }{\sum_{i=1}^{n} m_i}}\)
Mnożymy przez sumę z mianownika:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{S} = \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{A_i}}\)
Przenosimy na jedną stronę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} m_i (\vec{A_i} - \vec{S}) = \vec{0} \\
\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{SA_i} = \vec{0}}\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{S}}\) i \(\displaystyle{ \vec{A_i}}\) są zaczepione w początku układu współrzędnych, zatem ich współrzędne odpowiadają współrzędnym odpowiednich punktów.

[sogart]

Dzięki, tego potrzebowałem, ale z głowy tego nie pisałeś co nie?

[Wasilewski]

A niby skąd?