[Planimetria] Okrąg wpisany i dopisany

[MagdaW]

Rozważmy dowolny trójkąt ABC. Niech a, b i c będą odpowiednio długościami boków BC, CA i AB. Niech P będzie polem trójkąta ABC, p – połową jego obwodu, r – promieniem okręgu wpisanego, a \(\displaystyle{ r_A, r_B, r_C}\) – promieniami okręgów dopisanych odpowiednio do boków BC, CA i AB. (Okrąg dopisany do boku trójkąta to okrąg styczny do tego boku i przedłużeń dwóch pozostałych boków.) Udowodnij, że \(\displaystyle{ P = (p - a) \cdot r_A = (p - b) \cdot r_B = (p - c) \cdot r_C}\)

Zadanie to pochodzi z Internetowego kółka matematycznego dla gimnazjum. Byłabym bardzo wdzięczna za jakąkolwiek pomoc.

[Swistak]

Oczywiście srodki okręgu wpisanego w ten trójkąt i dopisanego do boku a, leżą na dwusiecznej kąta naprzeciw boku a. Zauważ, że odległość od punktów styczności do wierzchiłka tego kąta jest równa p, co łatwo zauważyć, jeżeli zauważymy, że suma odcinków łączących punkty styczności okręgu dopisanego z pozostałymi dwoma wierzchiołkami trójkąta to a. Odcinek, który łączy punkt styczności okręgu wpisanego do boku b i punkt styczności okręgu dopisanego do boku a z do boku b (mam nadzieję, ze rozumiesz o co mi chodzi ) ma długość a, co mozna wywnioskować z twierdzenia, że jak mamy 2 okręgi, 2 styczne zewnętrzne i 1 styczną wewnetrzną (to się chyba tak nazywa) to te małe odcinki, powstałe, przy tych okręgach sa sobie równe. Z teog wnioskuję, że odcinek łączący wierzchołek kąta naprzeciw boku a, z punktem stycznośco okręgu wpisanego w ten trójkat do boku b ma długość p-a. Teraz w Twierdzenia Talesa \(\displaystyle{ \frac{r}{p-a}=\frac{r_{a}}{p}}\), a z tego \(\displaystyle{ pr=r_{a}\cdot(p-a)}\), a jak wiemy P=pr więc teza została udowodniona. Analogiczny dowód dla 2 pozostałych boków (wystarczy zmienić w dowodzie literki a na b lub c ).

[MagdaW]

Bardzo Ci dziękuję za pomoc. Mógłbyś tylko uzasadnić, dlaczego środek okręgu wpisanego, dopisanego i jeden z wierzchołków są współliniowe?

[Swistak]

Środek okręgu, który jest styczny w 2 miejscach do ramion kąta leży na dwusiecznej tego kata, co bardzo łatwo udowodnić prowadząc odcinki od środku okręgu do punktów styczności i wykazując przystawanie trójkątów, które nam powstały.

[MagdaW]

Trójkąt dopisany do boku jest jednocześnie trójkątem wpisanym w trójkąt o tym samym wierzchołku (a ja tego nie zauważyłam). Już wszystko rozumiem. Jeszcze raz dziękuję za pomoc.