Na wstępie spytam się co to są funkcje supermodularne?
King James, brawo, piękne rozwiązania
Do już rozwiązanych zamieszczę alternatywne rozwiązania:
2)
I)Korzystając z nierówności Cauchy'ego-Schwarza i Nesbitt'a otrzymujemy nierówność:
\(\displaystyle{ (\sum_{cyc}(\frac{\sqrt{a}}{b+c})^{2})(\sum_{cyc}\sqrt{a}^{2})\geq (\sum_{cyc}\frac{a}{b+c})^{2}\geq (\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}}\) co okazuje się być równoważne naszej nierówności
II)Dokonajmy podstawienia
\(\displaystyle{ x=a+b, \ y=b+c, \ z=c+a.}\)
Wtedy należy równoważnie udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{x+z-y}{2y^{2}}+\frac{x+y-z}{2z^{2}}+\frac{y+z-x}{2x^{2}}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}.}\)
Dalej równoważnie przekształcając i wymnażając poprzez mianownik prawej strony pozostaje udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{(x+z)}{y^{2}}+\frac{(x+y)}{z^{2}}+\frac{(y+z)}{x^{2}}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{9}{x+y+z}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{(x+z)}{y})^{2}+(\frac{(x+y)}{z})^{2}+(\frac{(y+z)}{x})^{2}\geq 12}\)
co jest prawdą na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{\left( \frac{(x+z)}{y}\right)^{2}+\left( \frac{(x+y)}{z}\right)^{2}+\left( \frac{(y+z)}{x}\right)^{2}}{3}}\geq\frac{\frac{(x+z)}{y}+\frac{(x+y)}{z}+\frac{(y+z)}{x}}{3}\geq \frac{2+2+2}{3}=2}\) Q.E.D.
III)
Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że
\(\displaystyle{ a+b+c=3}\).
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \frac{(9-2a)(a-1)^2}{(4(a-3)^2}\ge 0\iff \frac{a}{(3-a)^2}\ge \frac{1}{2}\cdot (a-1)+\frac{1}{4}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \sum \frac{a}{(b+c)^2}=\sum \frac{a}{(3-a)^2}\ge \sum \frac{1}{2}\cdot (a-1)+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{9}{4(a+b+c)}}\) Q.E.D.
5)
Udowodnijmy silniejszą nierówność:
\(\displaystyle{ \prod_{cyc}(a^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}}\)
Zapiszmy nierówność w równoważnej postaci:
\(\displaystyle{ \prod_{cyc}(\frac{a^{2}-1}{3}+1)\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{9}}\)
Tutaj rozbijmy sobie rozumowanie na 3 przypadki:
a)jeśli
\(\displaystyle{ a,b,c\geq 1}\) to
\(\displaystyle{ \prod_{cyc}(\frac{a^{2}-1}{3}+1)\geq 1+\sum_{cyc}(\frac{a^{2}-1}{3})\geq \frac{(\sum_{cyc}a)^{2}}{9}}\) druga nierówność jest oczywista, a pierwsza wynika też z oczywistej nierówności:
\(\displaystyle{ (x+1)(y+1)(z+1)\geq 1+x+y+z}\)
b)jeśli tylko 2 z tych liczb a,b,c są co najmniej równe 1, to prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \prod_{cyc}(\frac{a^{2}-1}{3}+1)\geq (1+\frac{a^{2}-1}{3}+\frac{b^{2}-1}{3})(\frac{c^{2}+2}{3})}\)
dodatkowo z Cauchy'ego Schwarza mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}+1^{2}}{9}\cdot\frac{1^{2}+1^{2}+c^{2}}{9}\geq \frac{(\sum_{cyc}a)^{2}}{9}}\) co kończy dowód.
c)jeśli wszystkie 3 liczby są co najwyżej jedynką to mamy nierówności:
\(\displaystyle{ \prod_{cyc}(\frac{a^{2}-1}{3}+1)\geq 1+\sum_{cyc}(\frac{a^{2}-1}{3})\geq \frac{(\sum_{cyc}a)^{2}}{9}}\) na podstawie nierówności Bernoulliego co kończy dowód.
Q.E.D.
Tak już btw.
King James przedostatnia nierówność u Ciebie nie wynika chyba ze średnich, ale jest konsekwencją nierówności Schura
