[Wielomiany] Pierwiastek wielomianu o współczynnikach całkowitych

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
mms
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 21 razy

[Wielomiany] Pierwiastek wielomianu o współczynnikach całkowitych

Post autor: mms »

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}\).
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[Wielomiany] Pierwiastek wielomianu o współczynnikach całkowitych

Post autor: »

\(\displaystyle{ a^3= \left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2} \right)^3 \\
a^3 = 3 + 3\sqrt[3]{6} \left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2} \right) +2 \\
a^3-5 = 3\sqrt[3]{6} a \\
\left(a^3-5\right) ^3 = 162a^3}\)

A zatem \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= \left(x^3-5\right) ^3 - 162x^3}\).

Q.
ODPOWIEDZ