[Nierówności] Wykaż poprawność nierówności

[Sylwek]

Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ (5-a^2-b^2-c^2)abc \leq 2}\).

Dzięki z góry za pomoc.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ (5-x)\sqrt{x^3} \leq 2\sqrt{27}}\) dla 0 \(\displaystyle{ x=a^2+b^2+c^2}\)
\(\displaystyle{ (5-(a^2+b^2+c^2))abc \leq (5- (a^2+b^2+c^2))(\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}})^3}\)

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ (5 - a^{2} - b^{2} - c^{2})abc \leqslant 2}\)
\(\displaystyle{ 5abc \leqslant 2 + a^{3}bc + b^{3}ac + c^{3}ab}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{1 \cdot 1 \cdot a^{3}bc \cdot b^{3}ac \cdot c^{3}ab} \leqslant \frac{1 + 1 + a^{3}bc + b^{3}ac + c^{3}ab}{5}}\)

a tu już nie ma czego dowodzić

[Wasilewski]

Można też inaczej. Zauważamy, że gdy: \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \geqslant 5}\) to zawsze lewa strona jest nie większa od 0, zatem na pewno mniejsza równa 2. Sprawdzamy więc dla drugiego przypadku:
\(\displaystyle{ [5 - (a^2 + b^2 + c^2)]abc \leqslant 2 \ \ |\cdot \frac{1}{abc} \\
5 - \frac{2}{abc} \leqslant (a^2 + b^2 + c^2) < 5 \\
5 - \frac{2}{abc} < 5 -\frac{2}{abc}< 0}\)

[Sylwek]

Sprytnie , dzięki wszystkim


Wasilewski, chyba tak nie można, bo z tego, że: \(\displaystyle{ b \leq c}\) i \(\displaystyle{ a \leq c}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ b \leq a}\).

[Qń]

Wasilewski - z tego, że \(\displaystyle{ x<5}\) i \(\displaystyle{ y<5}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ x<y}\).

A rozwiązanie Brzytwy bardzo eleganckie.

Pozdrawiam.
Qń.

[Wasilewski]

Przepraszam, ale jeszcze tego nie widzę; możecie konkretnie napisać?

[Qń]

Założyłeś, że \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2< 5}\). Wolno. Pokazałeś, że \(\displaystyle{ 5 - \frac{2}{abc} < 5}\). Zgadza się. Ale nijak z tego nie wynika nierówność między \(\displaystyle{ 5 - \frac{2}{abc}}\) i \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2}\).

Q.

[Wasilewski]

Czy chodzi Ci o nierówność:
\(\displaystyle{ 5 - \frac{2}{abc} \leqslant a^2 + b^2 + c^2}\)
Faktycznie trochę przegiąłem.

[bosa_Nike]

Spoko, można też analitycznie: \(\displaystyle{ \left(5-a^2-b^2-c^2\right)abc\le 5abc-3(abc)^{\frac{5}{3}}\le 2}\), bo gdy \(\displaystyle{ f(x)=5x-3x^{\frac{5}{3}}}\), to \(\displaystyle{ f_{max}(x)=f(1)=2}\).