nieistnienie wielomianów

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
ann_u
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 4 razy

nieistnienie wielomianów

Post autor: ann_u » 2 lip 2022, o 09:02

Wykaż, że nie istnieją wielomiany \(\displaystyle{ P(x),Q(x)\in \RR\left [ x \right ]}\) takie że \(\displaystyle{ P(n)/Q(n)=1+1/2+...+1/n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN,n \ge 1}\).
Ostatnio zmieniony 2 lip 2022, o 10:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15588
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 5177 razy

Re: nieistnienie wielomianów

Post autor: Premislav » 2 lip 2022, o 12:23

A gdzie tagi :?:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1597
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 453 razy

Re: nieistnienie wielomianów

Post autor: timon92 » 3 lip 2022, o 18:57

z jednej strony, jak Premislav raczył zauważyć, stopień \(P\) jest większy od stopnia \(Q\)

podzielmy z resztą \(P\) przez \(Q\): \(P(x)=R(x)Q(x)+S(x)\) dla pewnych wielomianów \(R\) i \(S\) gdzie stopień \(R\) jest dodatni, a stopień \(S\) mniejszy od stopnia \(Q\)

podstawiając to do \(\frac{P(n+1)}{Q(n+1)} - \frac{P(n)}{Q(n)}=\frac{1}{n+1}\) i biorąc limit przy \(n\to\infty\) dowiadujemy się, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} R(n+1)-R(n)=0}\)

jest to możliwe tylko gdy \(R\) jest wielomianem stałym --- a skądinąd wiadomo, że stopień \(R\) jest dodatni i mamy sprzeczność

ODPOWIEDZ