nieistnienie wielomianów
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
nieistnienie wielomianów
Wykaż, że nie istnieją wielomiany \(\displaystyle{ P(x),Q(x)\in \RR\left [ x \right ]}\) takie że \(\displaystyle{ P(n)/Q(n)=1+1/2+...+1/n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN,n \ge 1}\).
Ostatnio zmieniony 2 lip 2022, o 10:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: nieistnienie wielomianów
z jednej strony, jak Premislav raczył zauważyć, stopień \(P\) jest większy od stopnia \(Q\)
podzielmy z resztą \(P\) przez \(Q\): \(P(x)=R(x)Q(x)+S(x)\) dla pewnych wielomianów \(R\) i \(S\) gdzie stopień \(R\) jest dodatni, a stopień \(S\) mniejszy od stopnia \(Q\)
podstawiając to do \(\frac{P(n+1)}{Q(n+1)} - \frac{P(n)}{Q(n)}=\frac{1}{n+1}\) i biorąc limit przy \(n\to\infty\) dowiadujemy się, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} R(n+1)-R(n)=0}\)
jest to możliwe tylko gdy \(R\) jest wielomianem stałym --- a skądinąd wiadomo, że stopień \(R\) jest dodatni i mamy sprzeczność
podzielmy z resztą \(P\) przez \(Q\): \(P(x)=R(x)Q(x)+S(x)\) dla pewnych wielomianów \(R\) i \(S\) gdzie stopień \(R\) jest dodatni, a stopień \(S\) mniejszy od stopnia \(Q\)
podstawiając to do \(\frac{P(n+1)}{Q(n+1)} - \frac{P(n)}{Q(n)}=\frac{1}{n+1}\) i biorąc limit przy \(n\to\infty\) dowiadujemy się, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} R(n+1)-R(n)=0}\)
jest to możliwe tylko gdy \(R\) jest wielomianem stałym --- a skądinąd wiadomo, że stopień \(R\) jest dodatni i mamy sprzeczność