dowód nierówności z silnią

[klimat]

Wykaż ze dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n \ge 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1+\frac{n}{1!} + \frac{n^{2}}{2!} +\ldots+ \frac{n^{n}}{n!} > \frac{e^{n}}{2}.}\)

[Janusz Tracz]

Odnotujmy następujące fakty:

• Dla dowolnej liczny naturalnej \(\displaystyle{ n\in \NN}\) mamy:
  \(\displaystyle{ \int_{0}^{n} \frac{x^n}{n!}e^{-x}\, \dd x + \int_{n}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}e^{-x}\, \dd x =1.}\)
  
  To wynika przykładowo z transformaty Laplace \(\displaystyle{ \mathscr{L}(x^n)(s)=n!/s^{n+1}}\) lub z własności funkcji \(\displaystyle{ \Gamma}\)-Eulera.

• Ciąg \(\displaystyle{ n\mapsto 1- \int_{0}^{n} \frac{x^n}{n!}e^{-x}\, \dd x }\) jest malejący. Dowód tego faktu jest do znalezienia w pracy (str. 36):

  voros.pdf

  (192.08 KiB) Pobrany 27 razy

  ON THE LIMIT OF A SEQUENCE, Z. Làszló and Z. Vörös, ponad to z pracy tej (podpunkt 2.2) wynika, że
  
  
  \(\displaystyle{ \int_{n}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}e^{-x}\, \dd x= e^{-n}\left( 1+\frac{n}{1!} + \frac{n^{2}}{2!} +\ldots+ \frac{n^{n}}{n!} \right). }\)
  Zatem \(\displaystyle{ e^{-n}\left( 1+\frac{n}{1!} + \frac{n^{2}}{2!} +\ldots+ \frac{n^{n}}{n!} \right)}\) jest ciągiem malejącym.

• Kod: Zaznacz cały

  math.stackexchange.com/questions/160248/evaluating-lim-limits-n-to-infty-e-n-sum-limits-k-0n-fracnkk

  Metodami probabilistycznymi (choć nie jest to obowiązek) dowodzi się dość znanego faktu, że
  \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} e^{-n} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} = \frac{1}{2}. }\)

Połączenie tych faktów daje dowód nierówności z tezy. Poza tym udowodniliśmy, że stałej \(\displaystyle{ 1/2}\) nie da się poprawić.

PS @Administracja. Proszę nie zmieniać linków na kody. Po to jest możliwość dodawania linków aby w uzasadnionych przypadkach je dodawać. To nie są lata 60 i początki Internetu aby trzeba było przeklejać komendy. Forum bez możliwości dodawania linków to obiektywnie zły pomysł. A jeśli Administracji obawia się, że pozycjonowanie forum ucierpi to tak się nie stanie. Pozycjonowanie forum powinno być poprawiane metodami ulepszania i modernizowania forum, a nie absurdalną metodą walki z linkami. To tak jakby zwiększyć PKB poprzez uwzględnianie prostytucji.

[Niepokonana]

A tego nie dałoby się jakoś prościej udowodnić? Indukcyjnie czy coś? Albo zamienić ciąg na funkcję i policzyć pochodną?

[Janusz Tracz]

A tego nie dałoby się jakoś prościej udowodnić? Indukcyjnie czy coś? Albo zamienić ciąg na funkcję i policzyć pochodną?

Pewnie się da. Ale indukcyjnie nie idzie w standardowy sposób więc trzeba byłoby być sprytnym. A ciąg na funkcję słabo się tu zamienia bo \(\displaystyle{ x!}\) i \(\displaystyle{ \sum_{}^{x} }\) słabo wygląda i kiepsko się różniczkuje. Z innych rozwiązań można powołać się na wyniki z pracy

Kod: Zaznacz cały

jstor.org/stable/2160389?seq=1

On the Medians of Gamma Distributions and an Equation of Ramanujan, K. P. Choi. Niech \(\displaystyle{ \lambda :\NN\to \RR}\) to ciąg taki, że

\(\displaystyle{ \int_{\lambda(n)}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}e^{-x}\, \dd x = \frac{1}{2}. }\)

• Twierdzenie 1 (tylko przydatna dla nasz część). Dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\)
  
  \(\displaystyle{ n+2/3 \le \lambda(n).}\)

To jednak natychmiast dowodzi tezy zadania ponieważ \(\displaystyle{ \xi\mapsto \int_{\xi}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}e^{-x}\, \dd x }\) jest malejąca względem \(\displaystyle{ \xi}\) więc

\(\displaystyle{ \int_{\lambda(n)}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}e^{-x}\, \dd x< \int_{n}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}e^{-x}\, \dd x. }\)

Można jeszcze inaczej. Niech ciąg \(\displaystyle{ \theta:\NN\to \RR}\) będzie taki, że

\(\displaystyle{ \frac{e^n}{2}= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n^{k}}{k!} +\theta(n) \frac{n^n}{n!} }\)

• Twierdzenie 3 (tylko wniosek). \(\displaystyle{ \theta(n) <1/3+8/243=0.36625. }\)

To też pokazuje żądaną nierówność. A nawet nierówność mocniejszą.

PS jednak te dwa rozwiązania odwołują się do dość nietrywialnych faktów więc to raczej ciekawostki. Pewnie da się to wszystko zrobić elementarnie szacując odpowiednią całkę bo widać, że jest mały margines błędu.