Zamiast podłogi będę używał standardowego oznaczenia `[x]` na część całkowitą liczby `x`
Lemat 1
Jeżeli dla każdego naturalnego `n` liczby `a` i `b` spełniają równanie `a[bn]=b[an]` i `a\in\ZZ\setminus\{0\}`, to `b\in\ZZ`..
Dowód
Kładąc `n=1` dostajemy `b=[{b}]`.
Lemat 2
Jeżeli dla każdego naturalnego `n` liczby `a` i `b` spełniają równanie `a[bn]=b[an]` i `a` jest niewymierne, to `b=0` lub `b` jest niewymierne..
Dowód
Jeżeli `b=p/q`, to kładąc `n=q` otrzymujemy `ap=b[an]` - co jest niemożliwe o ile `b\ne 0`.
Niech
\(\displaystyle{ A_n=\{(a,b)\in\RR^2: a[bn]=b[an]\}}\). Dla każdego `n` zbiór `A_n` jest symetryczny, tzn `(a,b)\in A_n \Leftrightarrow (b,a)\in A_n`.
Prawdziwy jest taki ciąg równoważności:
\(\displaystyle{ (a,b)\in A_n \Leftrightarrow a[bn]=b[an] \Leftrightarrow an[bn]=bn[an] \Leftrightarrow (an,bn)\in A_1,}\)
a to oznacza, że `A_n` powstaje ze zbioru `A_1` przez jednokładność o środku w początku układu współrzędnych i skali `1/n`.
Zbadam zbiór `A_1`. Jego elementy spełniają równanie
(*)
\(\displaystyle{ a[{b}]=b[a]}\). Rozpatrzę kilka przypadków:
1) `a=0`.
Równanie jest spełnione dla dowolnego `b\in\RR`.
Ze względu na symetrię mamy następujący wniosek
Wniosek 1
Osie układu należą do zbioru \(\displaystyle{ A_1}\)
2) `0<a<1`
Z (*) wynika, że `[{b}]=0`, czyli `0<b<1`. Łącząc to z Wnioskiem 1 otrzymujemy
Wniosek 2
\(\displaystyle{ [0,1)\times[0,1)\in A_1}\)
3) `[a]\ne 0` i `[{b}]\ne 0`
Wstawiając `a=[a]+\{a\}`, `b=[{b}]+\{b\}` do (*) otrzymuję
(**) `\{a\}[{b}]=\{b\}[a]`
i znów mamy dwa przypadki
3a `\{a\}=0`
To jest równoważne z `\{b\}=0` i stąd wniosek
Wniosek 3
\(\displaystyle{ \ZZ\times\ZZ\in A_1}\)
3b wszystkie czynniki w (**) sa niezerowe. Innymi słowy przyglądamy się wnętrzom kwadratów o boku `1`, których lewym dolnym wierzchołkiem jest punkt
\(\displaystyle{ ([a],[{b}])}\). Z (**) wynika, że liczby `a` i `b` muszą mieć takie same znaki. Ponadto nie interesują nas tu kwadraty, które lewym lub dolnym bokiem przylegają do osi układu współrzędnych.
Równanie
\(\displaystyle{ \{b\}=\frac{[{b}]}{[a]}\{a\}}\)
opisuje przekątną kwadratu gdy `[a]=[{b}]`
oraz odcinek otwarty o końcach
\(\displaystyle{ ([a],[{b}])}\) i
\(\displaystyle{ \left([a]+1],\frac{[{b}]}{[a]} \right)}\) jeżeli
\(\displaystyle{ \frac{[{b}]}{[a]}<1}\)
i o końcach
\(\displaystyle{ ([a],[{b}])}\) i
\(\displaystyle{ \left(\frac{[a]}{[{b}]},[{b}]+1] \right)}\) jeżeli
\(\displaystyle{ \frac{[{b}]}{[a]}>1}\)
Wniosek 4
Przekątna płaszczyzny należy do zbioru `A_1`.
Otrzymaliśmy zatem pełny opis zbioru `A_1`:
\(\displaystyle{ A_1=\{(x,y)\in\RR^2: xy=0\}\cup \{(x,x): x\in\RR\}\cup \ZZ^2\cup (0,1)^2\cup \bigcup_{\substack{n,m\in\ZZ\setminus\{0\},\\ \frac{m}{n}<1}} \left((n,m),\left(1,\frac{m}{n}\right)\right) \cup \bigcup_{\substack{n,m\in\ZZ\setminus\{0\}\\ \frac{m}{n}>1}} \left((n,m),\left(\frac{n}{m},1\right)\right) }\).
Niech
\(\displaystyle{ A= \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n}\) i
\(\displaystyle{ B=\{(x,y)\in\RR^2: xy=0\}\cup \{(x,x): x\in\RR\}\cup \ZZ^2}\).
Pokażę, że `A=B`. Jest jasne, że `B\subset A`.
Przypuśćmy, że `(a,b)\in A\setminus B`. Na mocy Lematów 1 i 2 albo obie liczby sa niewymierne, albo obie są "istotnie wymierne" (tzn niecałkowite).
W obu przypadkach istnieje takie `N` że `1/N<min \{|a|,|b|\}` i `(a,b)` należy do wnętrza pewnego kwadracika `K`, które tworzy siatka zbioru `A_N`.
Rozważę tu przypadek, gdy
\(\displaystyle{ 0<[{b}]<[a]}\) (pozostałe sa podobne)
- Obrazek20220705.jpg (14.18 KiB) Przejrzano 368 razy
Na czerwono zaznaczyłem kwadracik `K` z `A_N`, a na niebiesko kwadraciki z `A_{2N}` leżące w `K`. Współczynnikami kierunkowe odcinków `l_2, l_1, l_3` są odpowiednio
\(\displaystyle{ \frac{2m}{2n+1}<\frac{m}{n}<\frac{2m+1}{2n+1}}\), co pokazuje, że rysunek nie kłamie: przekrojem `A_N\cap A_{2N}\cap K` jest połowa czerwonego ukośnego odcinka.
Jak dołożymy do lewego dolnego kwadratu elementy zbioru `A_{4n}`, to zobaczymy, że przekrojem `A_N\cap A_{2N}\cap A_{4N}\cap K` jest ćwiartka tego odcinka. Kontynuując ten proces dochodzimy do wniosku, że
\(\displaystyle{ K\cap A\subset K\cap \bigcap_{n=0}^{\infty}A_{2^nN}=\emptyset }\), więc w `K` nie ma miejsca na `(a,b)`.