Jakieś pomysły na 6 ?[MIX] Mix matematyczny 44
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny 44
To jest proste wystarczy zauważyć, że:
skoro: \(\displaystyle{ x=f(x)}\)
\(\displaystyle{ f^{2}(x)=2f(x)-x}\)
\(\displaystyle{ f^{3}(x)=3f(x)-2x}\)
\(\displaystyle{ f^{n}(x)=nf(x)-(n-1)x}\)
Łatwo indukcyjnie dowieść rekurencyjnie, że
skoro:
(*) \(\displaystyle{ f^{n}(x)=2f^{n+1}(x)-f^{n+2}(x)}\)
rekurencyjnie rozwiązując to równanie rekurencyjne otrzymamy:
\(\displaystyle{ f^{n}(x)=a+nr}\)
Bo równanie charakterystyczne tej rekurencji jest:
\(\displaystyle{ (d-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ d=1}\) pierwiastek podwójny
Ponieważ funkcja jest rosnąca mamy dla:
\(\displaystyle{ x \in R}\)
\(\displaystyle{ a+nr \le f^{n}(x) \le a+(n+1)r}\)
Biorąc pod uwagę (*) otrzymamy:
\(\displaystyle{ a+nr \le nf(x)-(n-1)x \le a+(n+1)r}\)
lub:
\(\displaystyle{ a+nr+(n-1)x \le nf(x) \le a+(n+1)r+(n-1)x /:n }\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{n} +r+x- \frac{x}{n} \le f(x) \le \frac{a}{n} +r+ \frac{r}{n} +x- \frac{x}{n} }\)
przy:
\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ r+x \le f(x) \le r+x}\)
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=x+r}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(x)=x-r}\)
cnd...
Dodano po 6 minutach 20 sekundach:
Troszkę jest w tym rozwiązaniu chaosu ale można sobie to uporządkować lepiej...
skoro: \(\displaystyle{ x=f(x)}\)
\(\displaystyle{ f^{2}(x)=2f(x)-x}\)
\(\displaystyle{ f^{3}(x)=3f(x)-2x}\)
\(\displaystyle{ f^{n}(x)=nf(x)-(n-1)x}\)
Łatwo indukcyjnie dowieść rekurencyjnie, że
skoro:
(*) \(\displaystyle{ f^{n}(x)=2f^{n+1}(x)-f^{n+2}(x)}\)
rekurencyjnie rozwiązując to równanie rekurencyjne otrzymamy:
\(\displaystyle{ f^{n}(x)=a+nr}\)
Bo równanie charakterystyczne tej rekurencji jest:
\(\displaystyle{ (d-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ d=1}\) pierwiastek podwójny
Ponieważ funkcja jest rosnąca mamy dla:
\(\displaystyle{ x \in R}\)
\(\displaystyle{ a+nr \le f^{n}(x) \le a+(n+1)r}\)
Biorąc pod uwagę (*) otrzymamy:
\(\displaystyle{ a+nr \le nf(x)-(n-1)x \le a+(n+1)r}\)
lub:
\(\displaystyle{ a+nr+(n-1)x \le nf(x) \le a+(n+1)r+(n-1)x /:n }\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{n} +r+x- \frac{x}{n} \le f(x) \le \frac{a}{n} +r+ \frac{r}{n} +x- \frac{x}{n} }\)
przy:
\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ r+x \le f(x) \le r+x}\)
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=x+r}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(x)=x-r}\)
cnd...
Dodano po 6 minutach 20 sekundach:
Troszkę jest w tym rozwiązaniu chaosu ale można sobie to uporządkować lepiej...