[MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Każdemu punktowi płaszczyzny przypisano liczbę rzeczywistą ale w ten sposób, że w dowolnym trójkącie średnia arytmetyczna etykiet wierzchołków jest równa etykiecie środka okręgu wpisanego w ten trójkąt. Udowodnić, że wszystkie etykiety są takie same.
2. Znaleźć wszystkie skończone zbiory \(\displaystyle{ X }\) punktów na płaszczyźnie, takie że dla dowolnych trzech punktów \(\displaystyle{ A, B, C \in X}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ D \in X }\), że czworokąt \(\displaystyle{ ABCD }\) jest równoległobokiem.
3. AntyPascal
Anty - Trójkąt Pascala to taki, gdzie każdy element jest modułem różnicy elementów pod nim, np.
\(\displaystyle{
\ \ 4 \\
\ 2 \ \ 6 \\
5 \ \ 7 \ \ 1 }\)

Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje Anty - Trójkąt Pascala, w którym są wszystkie liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, n \} }\) ?

4. Własność Cassiniego
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ |k^2-km-m^2|=1 }\), to istnieje \(\displaystyle{ n }\) takie, że \(\displaystyle{ k= \pm f_n }\) i \(\displaystyle{ m= \pm f_{n+1}.}\)
5. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) , jeśli \(\displaystyle{ f(x+ \sqrt{x^2+1}) = \frac{x}{x+1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \{ -1 \}.}\)
6. Liczba \(\displaystyle{ x}\) jest liczba Liouville’a jeśli dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ k}\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b \geq 2}\) i: \(\displaystyle{ |x- \frac{a}{b}| < b^{-k}.}\)
Wykaż lub obal: \(\displaystyle{ \pi}\) jest sumą dwóch liczb Liouville’a.
7. Równanie Pella
Dla jakich \(\displaystyle{ A }\) równanie \(\displaystyle{ Ax^2- 7y^2=-1}\) ma całkowitoliczbowe rozwiązanie ?
8. Na płaszczyźnie narysowano skończoną liczbę okręgów. W każdym z tych okręgów narysowano cięciwę, tak aby cięciwy dwóch różnych okręgów miały co najwyżej jeden punkt wspólny. Dowieść, że tak narysowaną mapę można prawidłowo pomalować trzema barwami.
9. Tzw. Jacobsthal function jest zdefiniowana poprzez ciąg liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\), tj. gdy \(\displaystyle{ 1=a_1< a_2 < …<a_{\phi(n)} = n-1}\) jako
\(\displaystyle{ g(n)= \max_{j} (a_{j+1}-a_j).}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ g(n) \leq \omega(n) }\)
10. Które z poniższych nierówności są fałszywe, a które nie:
\(\displaystyle{ \sin(\tg (x)) > x }\)
\(\displaystyle{ \tg(\sin (x)) > x }\)
\(\displaystyle{ \sin(x)+\tg (x) > 2x }\)
gdy \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{\pi}{4}\right) .}\)

11. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x+1} }\). Wyrazić \(\displaystyle{ f(3x) }\) przez \(\displaystyle{ f(x). }\)
12. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab+bc+ca =1 \\a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b. \end{cases} }\)
EGMO
13. Ile jest punktów przecięcia odcinków łączących wszystkie punkty kratowe na brzegu kwadratu o boku \(\displaystyle{ n }\) ?
Uwagi: Rogi kwadratu są w punktach \(\displaystyle{ (0,0) , (0,n), (n,0), (n,n). }\)
14. Na ile pól nieskończonej szachownicy może dostać się konik mogąc wykonać \(\displaystyle{ n }\) ruchów (bądź mniej) ?
15. Udowodnić, że warunkiem rozkładalności wielomianu trzech zmiennych \(\displaystyle{ axyz+ b(xy+yz+zx)+ c(x+y+z)+d }\) jest to, aby jego współczynniki \(\displaystyle{ a, b,c, d }\) były postępem geometrycznym.
Uwagi: np. \(\displaystyle{ xyz+ 2(xy+yz+zx)+ 4(x+y+z)+8= (x+2)(y+2)(z+2).}\)

16. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f( xf(x+y)) = f( yf(x) ) + x^2.}\)
Japonia
17. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ b }\) jest liczbą nieparzystą niepodzielną przez \(\displaystyle{ 5 }\), to istnieje wykładnik \(\displaystyle{ k }\) o tej własności, że \(\displaystyle{ b^k -1 }\) kończy się dowolnie długą sekwencją zer.
18. Gra na płaszczyźnie.
Dla zadanej konfiguracji: punktu startowego \(\displaystyle{ P(m, n) }\) ruch polega na jednym z trzech możliwości : w pionie w dół, w lewo, po przekątnej w dół (zawsze na punkt kratowy).
Gra dla dwóch osób, wygrywa ten, kto jako pierwszy będzie w \(\displaystyle{ (0,0) }\). Czy istnieje strategia wygrywająca, jaka ona jest, i czy zależy od punktu startowego ?
19. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ x, y}\) takich, że \(\displaystyle{ y(y+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x(x+1)}\) i takich, że zarówno \(\displaystyle{ y}\) jak i \(\displaystyle{ y+1 }\) nie dzielą się ani przez \(\displaystyle{ x }\) ani przez \(\displaystyle{ x+1 }\).
20. W rozgrywkach ligi piłkarskiej wzięło udział \(\displaystyle{ 2n }\) drużyn (\(\displaystyle{ n >2}\)) i odbyło się \(\displaystyle{ 2n−1 }\) kolejek. W każdej kolejce każda drużyna rozegrała jeden mecz. Dowolne dwie drużyny spotkały się ze sobą podczas rozgrywek w dokładnie jednym meczu. Ponadto w każdym meczu jedna drużyna była gospodarzem, a druga gościem. Drużynę nazwiemy podróżującą, jeżeli w dowolnych dwóch sąsiednich kolejkach była ona raz gospodarzem i raz gościem. Udowodnić, że istnieją co najwyżej dwie drużyny podróżujące.

21. Fibonacci i modulo
Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ f_{n }+2 \equiv f_{n+1} +1 \equiv f_{n+2} \ (mod \ m). }\)
22. Jacek i Agatka seriami rzucają kostką dopóki nie wyrzucą tej samej liczby oczek. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby serii rzutów.
23. Niech \(\displaystyle{ p, q }\) będą różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, zaś \(\displaystyle{ n }\) dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, ze istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ k(n-k)}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ pq.}\)
Gulf Math Olympiad
24. Liczba Nivena; Trzy pytania
Liczba Nivena to taka, która jest podzielna przez sumę swych cyfr.
i) Czy kwadrat liczby Nivena jest Nivena ?
ii) Jaki jest możliwie najdłuższy ciąg kolejnych liczb naturalnych, które są Nivena?
iii) Czy dzielnik liczby Nivena jest Nivena ?
25. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) wielomian \(\displaystyle{ (x^4-1)^n + (x^2-x)^n }\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^5-1 }\) ?
26. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 47 }\) dzieli \(\displaystyle{ 3^x-2^y}\) jeśli \(\displaystyle{ 23 }\) dzieli \(\displaystyle{ 4x+y}\) (i na odwrót).
27. Wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ x^8+ 98x^4+1 }\) jest nierozkładalny (nie jest iloczynem wielomianów niestałych o współczynnikach całkowitych).
28. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ n }\) takie, że \(\displaystyle{ 2^n -1 }\) ma \(\displaystyle{ n }\) dzielników (nie mniej i nie więcej).
29. W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD }\), \(\displaystyle{ M }\) i \(\displaystyle{ N }\) są środkami boków \(\displaystyle{ BC }\) i \(\displaystyle{ AD}\) odpowiednio. Czy jest możliwym aby \(\displaystyle{ AB+CD > \max (AM+DM, BN+CN ) }\) ?

30. Równanie z logarytmem
Niech \(\displaystyle{ 1<a<b }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3a}{\log_{a} b} = \frac{b}{2\log_{b} a} = \frac{3a+b}{3}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \log_{a} b.}\)
polinomyal (artofproblemsolving.com)
31. Drogi w digrafie
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grafem, w którym największy stopień wierzchołka jest równy \(\displaystyle{ q}\). Wykazać, że istnieje orientacja tego grafu, dla której nie ma drogi długości większej niż \(\displaystyle{ q}\).
Uwagi: Droga w grafie jest trasą po różnych krawędziach i wierzchołkach (za ewentualnie wyjątkiem pierwszego i ostatniego).
32. Na stosie jest \(\displaystyle{ 2021}\) kamyków, gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wykonują na przemian swe ruchy; w jednym posunięciu \(\displaystyle{ A}\) może zdjąć ze stosu \(\displaystyle{ 1, }\) bądź \(\displaystyle{ 2}\), bądź \(\displaystyle{ 7}\) kamieni, a \(\displaystyle{ B}\) może zdjąć ze stosu \(\displaystyle{ 1, }\) bądź \(\displaystyle{ 3}\), bądź \(\displaystyle{ 4}\) bądź \(\displaystyle{ 6}\) kamieni. Grę rozpoczyna \(\displaystyle{ A}\). Czy istnieje dla któregoś z nich strategia wygrywająca i jeśli tak, to jaka ?
Cono Sur
33. W \(\displaystyle{ 2n+2}\) kącie wypukłym narysowano \(\displaystyle{ n^2}\) przekątnych. Udowodnić, że któraś z nich rozcina ten \(\displaystyle{ 2n+2}\) kąt na dwa wielokąty o nieparzystej liczbie wierzchołków.
34. Obliczyć długość krzywej \(\displaystyle{ (y - \arcsin(x))^2 +x^2=1 }\) ?
35. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje \(\displaystyle{ n }\) kąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki są to punkty kratowe, i wewnątrz którego nie ma żadnych punktów kratowych ?
36. Ułamek zbilansowany to taki, w którym licznik i mianownik składają się z tej samej liczby czynników pierwszych - niekoniecznie różnych (np. \(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 8} }\) jest zbilansowany, ale \(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 5 \cdot 9}{7 \cdot 8} }\) nie jest ). Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k }\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie , że każdy z ułamków
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}, \frac{x+1}{y+1}, \frac{x+2}{y+2}, … , \frac{x+k}{y+k}, }\)
jest zbilansowany.
37. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie taka, że \(\displaystyle{ f( f(x) ) = 4x+1}\). Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ f(x) = x}\) ma jedno jedyne rozwiązanie.
38. Zbadać czy istnieje ciąg \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3,…}\) że:
i) każda liczba naturalna jest w nim tylko jeden raz
ii) i tę samą własność ma też ciąg \(\displaystyle{ |a_1- a_2|, |a_2-a_3|, |a_3-a_4|, …}\)
39. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f }\) takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(\frac{\sqrt{3}}{3}x) = \sqrt{3}f(x) - \frac{2\sqrt{3}}{3}x \\ f(x)f(y) = f(xy)+ f(\frac{x}{y}) \end{cases}}\)
o ile \(\displaystyle{ x, y \in \RR }\) i \(\displaystyle{ y \neq 0.}\)
40. Niech \(\displaystyle{ ABC }\) będzie trójkątem ostrokątnym, niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ BC}\), punkt \(\displaystyle{ P}\) jest na odcinku \(\displaystyle{ AM}\), proste \(\displaystyle{ BP}\) i \(\displaystyle{ CP}\) przecinają okrąg opisany w punktach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) oraz boki \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D }\) i \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ AXD}\) i \(\displaystyle{ AYE}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ T \neq A}\) na prostej \(\displaystyle{ AM}\).
Saudi Arabia
Ostatnio zmieniony 27 gru 2021, o 17:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja. Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: a4karo »

5:    
Czy przykład w 36 jest poprawny? zarówno licznik jak i mianownik maja po dwa czynniki pierwsze

Kwadrat w zad 13 ma bok `n+1`.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: arek1357 »

Zadanie 33
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: mol_ksiazkowy »

36 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: arek1357 »

W zadaniu pierwszym próbowałem tworzyć układy symetryczne ale to niewiele dało bo wychodzą tożsamości...

Dopiero jak znalazłem układ niesymetryczny odniosłem sukces. czyli tak opiszę konstrukcję:

Narysowałem okrąg, opisałem na nim trójkąt równoboczny (wierzchołki \(\displaystyle{ a,b,c}\)), obróciłem go o 180 stopni i otrzymałem trójkąt też równoboczny , wierzchołki: \(\displaystyle{ (x,y,z)}\). Wiadomo, że:

(*) \(\displaystyle{ a+b+c=3c_{1}=x+y+z}\) , \(\displaystyle{ c_{1}}\) -środek koła

żeby było łatwiej wierzchołki tak przechodzą po obrocie o \(\displaystyle{ 180^o}\) \(\displaystyle{ (a,b,c) \rightarrow (x,y,z)}\)

żeby było łatwiej sobie wyobrazić to trójkąt \(\displaystyle{ abc}\) stoi na podstawie a \(\displaystyle{ x,y,z}\) na wierzchołku...

Teraz przedłużam boki sześciokąta: \(\displaystyle{ zb}\) i \(\displaystyle{ cx}\) tak , że się przetną w punkcie \(\displaystyle{ t}\)

Jak widać trójkąty:\(\displaystyle{ bct}\) i\(\displaystyle{ zxt}\) mają wspólny wpisany okrąg o jakimś tam np. środku \(\displaystyle{ c_{2}}\)

mamy więc:

\(\displaystyle{ b+t+c=z+x+t}\)

lub:

\(\displaystyle{ b+c=z+x}\)

co w połączeniu z (*) daje:

\(\displaystyle{ a+z+x=x+y+z }\)

lub po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ a=y}\)

A skoro dwa punkty na płaszczyźnie są równe to dobierając okręgi, ich środki można wykazać, że wszystkie punkty są równe, cnd...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: a4karo »

10b:    
10c:    
albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 11 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: albanczyk123456 »

11:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: Premislav »

12.:    
17.:    
30.:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: mol_ksiazkowy »

1 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: arek1357 »

czy y nie zależy od a ?
W jakim sensie?, to tylko dwa wierzchołki sześciokąta foremnego, potem można tworzyć łamaną wypełniającą całą płaszczyznę zaczynając od:

\(\displaystyle{ y=a=r_{1}=r_{2}=...}\)

Dodano po 32 minutach 18 sekundach:
Zad. 16
Ukryta treść:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: a4karo »

10a:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: arek1357 »

Co do szóstego to z tw. P. Erdosa każda liczba rzeczywista da się przedstawić jako suma albo iloczyn dwóch liczb Liouville’a...

Dodano po 3 godzinach 41 minutach 29 sekundach:
Zad. 25
Ukryta treść:    
Dodano po 14 minutach 1 sekundzie:
Zad 27 jest rozkładalny:

\(\displaystyle{ x^8+98x^4+1=(x^4-4x^3+8x^2+4x+1)(x^4+4x^3+8x^2-4x+1)}\)
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: Tmkk »

22.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: mol_ksiazkowy »

11 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3

Post autor: arek1357 »

zad. 20
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ