[MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3
1. Każdemu punktowi płaszczyzny przypisano liczbę rzeczywistą ale w ten sposób, że w dowolnym trójkącie średnia arytmetyczna etykiet wierzchołków jest równa etykiecie środka okręgu wpisanego w ten trójkąt. Udowodnić, że wszystkie etykiety są takie same.
2. Znaleźć wszystkie skończone zbiory \(\displaystyle{ X }\) punktów na płaszczyźnie, takie że dla dowolnych trzech punktów \(\displaystyle{ A, B, C \in X}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ D \in X }\), że czworokąt \(\displaystyle{ ABCD }\) jest równoległobokiem.
3. AntyPascal
Anty - Trójkąt Pascala to taki, gdzie każdy element jest modułem różnicy elementów pod nim, np.
\(\displaystyle{
\ \ 4 \\
\ 2 \ \ 6 \\
5 \ \ 7 \ \ 1 }\)
Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje Anty - Trójkąt Pascala, w którym są wszystkie liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, n \} }\) ?
4. Własność Cassiniego
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ |k^2-km-m^2|=1 }\), to istnieje \(\displaystyle{ n }\) takie, że \(\displaystyle{ k= \pm f_n }\) i \(\displaystyle{ m= \pm f_{n+1}.}\)
5. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) , jeśli \(\displaystyle{ f(x+ \sqrt{x^2+1}) = \frac{x}{x+1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \{ -1 \}.}\)
6. Liczba \(\displaystyle{ x}\) jest liczba Liouville’a jeśli dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ k}\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b \geq 2}\) i: \(\displaystyle{ |x- \frac{a}{b}| < b^{-k}.}\)
Wykaż lub obal: \(\displaystyle{ \pi}\) jest sumą dwóch liczb Liouville’a.
7. Równanie Pella
Dla jakich \(\displaystyle{ A }\) równanie \(\displaystyle{ Ax^2- 7y^2=-1}\) ma całkowitoliczbowe rozwiązanie ?
8. Na płaszczyźnie narysowano skończoną liczbę okręgów. W każdym z tych okręgów narysowano cięciwę, tak aby cięciwy dwóch różnych okręgów miały co najwyżej jeden punkt wspólny. Dowieść, że tak narysowaną mapę można prawidłowo pomalować trzema barwami.
9. Tzw. Jacobsthal function jest zdefiniowana poprzez ciąg liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\), tj. gdy \(\displaystyle{ 1=a_1< a_2 < …<a_{\phi(n)} = n-1}\) jako
\(\displaystyle{ g(n)= \max_{j} (a_{j+1}-a_j).}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ g(n) \leq \omega(n) }\)
10. Które z poniższych nierówności są fałszywe, a które nie:
\(\displaystyle{ \sin(\tg (x)) > x }\)
\(\displaystyle{ \tg(\sin (x)) > x }\)
\(\displaystyle{ \sin(x)+\tg (x) > 2x }\)
gdy \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{\pi}{4}\right) .}\)
11. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x+1} }\). Wyrazić \(\displaystyle{ f(3x) }\) przez \(\displaystyle{ f(x). }\)
12. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab+bc+ca =1 \\a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b. \end{cases} }\)
EGMO
13. Ile jest punktów przecięcia odcinków łączących wszystkie punkty kratowe na brzegu kwadratu o boku \(\displaystyle{ n }\) ?
Uwagi: Rogi kwadratu są w punktach \(\displaystyle{ (0,0) , (0,n), (n,0), (n,n). }\)
14. Na ile pól nieskończonej szachownicy może dostać się konik mogąc wykonać \(\displaystyle{ n }\) ruchów (bądź mniej) ?
15. Udowodnić, że warunkiem rozkładalności wielomianu trzech zmiennych \(\displaystyle{ axyz+ b(xy+yz+zx)+ c(x+y+z)+d }\) jest to, aby jego współczynniki \(\displaystyle{ a, b,c, d }\) były postępem geometrycznym.
Uwagi: np. \(\displaystyle{ xyz+ 2(xy+yz+zx)+ 4(x+y+z)+8= (x+2)(y+2)(z+2).}\)
16. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f( xf(x+y)) = f( yf(x) ) + x^2.}\)
Japonia
17. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ b }\) jest liczbą nieparzystą niepodzielną przez \(\displaystyle{ 5 }\), to istnieje wykładnik \(\displaystyle{ k }\) o tej własności, że \(\displaystyle{ b^k -1 }\) kończy się dowolnie długą sekwencją zer.
18. Gra na płaszczyźnie.
Dla zadanej konfiguracji: punktu startowego \(\displaystyle{ P(m, n) }\) ruch polega na jednym z trzech możliwości : w pionie w dół, w lewo, po przekątnej w dół (zawsze na punkt kratowy).
Gra dla dwóch osób, wygrywa ten, kto jako pierwszy będzie w \(\displaystyle{ (0,0) }\). Czy istnieje strategia wygrywająca, jaka ona jest, i czy zależy od punktu startowego ?
19. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ x, y}\) takich, że \(\displaystyle{ y(y+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x(x+1)}\) i takich, że zarówno \(\displaystyle{ y}\) jak i \(\displaystyle{ y+1 }\) nie dzielą się ani przez \(\displaystyle{ x }\) ani przez \(\displaystyle{ x+1 }\).
20. W rozgrywkach ligi piłkarskiej wzięło udział \(\displaystyle{ 2n }\) drużyn (\(\displaystyle{ n >2}\)) i odbyło się \(\displaystyle{ 2n−1 }\) kolejek. W każdej kolejce każda drużyna rozegrała jeden mecz. Dowolne dwie drużyny spotkały się ze sobą podczas rozgrywek w dokładnie jednym meczu. Ponadto w każdym meczu jedna drużyna była gospodarzem, a druga gościem. Drużynę nazwiemy podróżującą, jeżeli w dowolnych dwóch sąsiednich kolejkach była ona raz gospodarzem i raz gościem. Udowodnić, że istnieją co najwyżej dwie drużyny podróżujące.
21. Fibonacci i modulo
Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ f_{n }+2 \equiv f_{n+1} +1 \equiv f_{n+2} \ (mod \ m). }\)
22. Jacek i Agatka seriami rzucają kostką dopóki nie wyrzucą tej samej liczby oczek. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby serii rzutów.
23. Niech \(\displaystyle{ p, q }\) będą różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, zaś \(\displaystyle{ n }\) dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, ze istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ k(n-k)}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ pq.}\)
Gulf Math Olympiad
24. Liczba Nivena; Trzy pytania
Liczba Nivena to taka, która jest podzielna przez sumę swych cyfr.
i) Czy kwadrat liczby Nivena jest Nivena ?
ii) Jaki jest możliwie najdłuższy ciąg kolejnych liczb naturalnych, które są Nivena?
iii) Czy dzielnik liczby Nivena jest Nivena ?
25. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) wielomian \(\displaystyle{ (x^4-1)^n + (x^2-x)^n }\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^5-1 }\) ?
26. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 47 }\) dzieli \(\displaystyle{ 3^x-2^y}\) jeśli \(\displaystyle{ 23 }\) dzieli \(\displaystyle{ 4x+y}\) (i na odwrót).
27. Wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ x^8+ 98x^4+1 }\) jest nierozkładalny (nie jest iloczynem wielomianów niestałych o współczynnikach całkowitych).
28. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ n }\) takie, że \(\displaystyle{ 2^n -1 }\) ma \(\displaystyle{ n }\) dzielników (nie mniej i nie więcej).
29. W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD }\), \(\displaystyle{ M }\) i \(\displaystyle{ N }\) są środkami boków \(\displaystyle{ BC }\) i \(\displaystyle{ AD}\) odpowiednio. Czy jest możliwym aby \(\displaystyle{ AB+CD > \max (AM+DM, BN+CN ) }\) ?
30. Równanie z logarytmem
Niech \(\displaystyle{ 1<a<b }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3a}{\log_{a} b} = \frac{b}{2\log_{b} a} = \frac{3a+b}{3}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \log_{a} b.}\)
polinomyal (artofproblemsolving.com)
31. Drogi w digrafie
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grafem, w którym największy stopień wierzchołka jest równy \(\displaystyle{ q}\). Wykazać, że istnieje orientacja tego grafu, dla której nie ma drogi długości większej niż \(\displaystyle{ q}\).
Uwagi: Droga w grafie jest trasą po różnych krawędziach i wierzchołkach (za ewentualnie wyjątkiem pierwszego i ostatniego).
32. Na stosie jest \(\displaystyle{ 2021}\) kamyków, gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wykonują na przemian swe ruchy; w jednym posunięciu \(\displaystyle{ A}\) może zdjąć ze stosu \(\displaystyle{ 1, }\) bądź \(\displaystyle{ 2}\), bądź \(\displaystyle{ 7}\) kamieni, a \(\displaystyle{ B}\) może zdjąć ze stosu \(\displaystyle{ 1, }\) bądź \(\displaystyle{ 3}\), bądź \(\displaystyle{ 4}\) bądź \(\displaystyle{ 6}\) kamieni. Grę rozpoczyna \(\displaystyle{ A}\). Czy istnieje dla któregoś z nich strategia wygrywająca i jeśli tak, to jaka ?
Cono Sur
33. W \(\displaystyle{ 2n+2}\) kącie wypukłym narysowano \(\displaystyle{ n^2}\) przekątnych. Udowodnić, że któraś z nich rozcina ten \(\displaystyle{ 2n+2}\) kąt na dwa wielokąty o nieparzystej liczbie wierzchołków.
34. Obliczyć długość krzywej \(\displaystyle{ (y - \arcsin(x))^2 +x^2=1 }\) ?
35. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje \(\displaystyle{ n }\) kąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki są to punkty kratowe, i wewnątrz którego nie ma żadnych punktów kratowych ?
36. Ułamek zbilansowany to taki, w którym licznik i mianownik składają się z tej samej liczby czynników pierwszych - niekoniecznie różnych (np. \(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 8} }\) jest zbilansowany, ale \(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 5 \cdot 9}{7 \cdot 8} }\) nie jest ). Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k }\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie , że każdy z ułamków
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}, \frac{x+1}{y+1}, \frac{x+2}{y+2}, … , \frac{x+k}{y+k}, }\)
jest zbilansowany.
37. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie taka, że \(\displaystyle{ f( f(x) ) = 4x+1}\). Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ f(x) = x}\) ma jedno jedyne rozwiązanie.
38. Zbadać czy istnieje ciąg \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3,…}\) że:
i) każda liczba naturalna jest w nim tylko jeden raz
ii) i tę samą własność ma też ciąg \(\displaystyle{ |a_1- a_2|, |a_2-a_3|, |a_3-a_4|, …}\)
39. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f }\) takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(\frac{\sqrt{3}}{3}x) = \sqrt{3}f(x) - \frac{2\sqrt{3}}{3}x \\ f(x)f(y) = f(xy)+ f(\frac{x}{y}) \end{cases}}\)
o ile \(\displaystyle{ x, y \in \RR }\) i \(\displaystyle{ y \neq 0.}\)
40. Niech \(\displaystyle{ ABC }\) będzie trójkątem ostrokątnym, niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ BC}\), punkt \(\displaystyle{ P}\) jest na odcinku \(\displaystyle{ AM}\), proste \(\displaystyle{ BP}\) i \(\displaystyle{ CP}\) przecinają okrąg opisany w punktach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) oraz boki \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D }\) i \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ AXD}\) i \(\displaystyle{ AYE}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ T \neq A}\) na prostej \(\displaystyle{ AM}\).
Saudi Arabia
2. Znaleźć wszystkie skończone zbiory \(\displaystyle{ X }\) punktów na płaszczyźnie, takie że dla dowolnych trzech punktów \(\displaystyle{ A, B, C \in X}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ D \in X }\), że czworokąt \(\displaystyle{ ABCD }\) jest równoległobokiem.
3. AntyPascal
Anty - Trójkąt Pascala to taki, gdzie każdy element jest modułem różnicy elementów pod nim, np.
\(\displaystyle{
\ \ 4 \\
\ 2 \ \ 6 \\
5 \ \ 7 \ \ 1 }\)
Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje Anty - Trójkąt Pascala, w którym są wszystkie liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, n \} }\) ?
4. Własność Cassiniego
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ |k^2-km-m^2|=1 }\), to istnieje \(\displaystyle{ n }\) takie, że \(\displaystyle{ k= \pm f_n }\) i \(\displaystyle{ m= \pm f_{n+1}.}\)
5. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) , jeśli \(\displaystyle{ f(x+ \sqrt{x^2+1}) = \frac{x}{x+1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \{ -1 \}.}\)
6. Liczba \(\displaystyle{ x}\) jest liczba Liouville’a jeśli dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ k}\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b \geq 2}\) i: \(\displaystyle{ |x- \frac{a}{b}| < b^{-k}.}\)
Wykaż lub obal: \(\displaystyle{ \pi}\) jest sumą dwóch liczb Liouville’a.
7. Równanie Pella
Dla jakich \(\displaystyle{ A }\) równanie \(\displaystyle{ Ax^2- 7y^2=-1}\) ma całkowitoliczbowe rozwiązanie ?
8. Na płaszczyźnie narysowano skończoną liczbę okręgów. W każdym z tych okręgów narysowano cięciwę, tak aby cięciwy dwóch różnych okręgów miały co najwyżej jeden punkt wspólny. Dowieść, że tak narysowaną mapę można prawidłowo pomalować trzema barwami.
9. Tzw. Jacobsthal function jest zdefiniowana poprzez ciąg liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\), tj. gdy \(\displaystyle{ 1=a_1< a_2 < …<a_{\phi(n)} = n-1}\) jako
\(\displaystyle{ g(n)= \max_{j} (a_{j+1}-a_j).}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ g(n) \leq \omega(n) }\)
10. Które z poniższych nierówności są fałszywe, a które nie:
\(\displaystyle{ \sin(\tg (x)) > x }\)
\(\displaystyle{ \tg(\sin (x)) > x }\)
\(\displaystyle{ \sin(x)+\tg (x) > 2x }\)
gdy \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{\pi}{4}\right) .}\)
11. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x+1} }\). Wyrazić \(\displaystyle{ f(3x) }\) przez \(\displaystyle{ f(x). }\)
12. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab+bc+ca =1 \\a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b. \end{cases} }\)
EGMO
13. Ile jest punktów przecięcia odcinków łączących wszystkie punkty kratowe na brzegu kwadratu o boku \(\displaystyle{ n }\) ?
Uwagi: Rogi kwadratu są w punktach \(\displaystyle{ (0,0) , (0,n), (n,0), (n,n). }\)
14. Na ile pól nieskończonej szachownicy może dostać się konik mogąc wykonać \(\displaystyle{ n }\) ruchów (bądź mniej) ?
15. Udowodnić, że warunkiem rozkładalności wielomianu trzech zmiennych \(\displaystyle{ axyz+ b(xy+yz+zx)+ c(x+y+z)+d }\) jest to, aby jego współczynniki \(\displaystyle{ a, b,c, d }\) były postępem geometrycznym.
Uwagi: np. \(\displaystyle{ xyz+ 2(xy+yz+zx)+ 4(x+y+z)+8= (x+2)(y+2)(z+2).}\)
16. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f( xf(x+y)) = f( yf(x) ) + x^2.}\)
Japonia
17. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ b }\) jest liczbą nieparzystą niepodzielną przez \(\displaystyle{ 5 }\), to istnieje wykładnik \(\displaystyle{ k }\) o tej własności, że \(\displaystyle{ b^k -1 }\) kończy się dowolnie długą sekwencją zer.
18. Gra na płaszczyźnie.
Dla zadanej konfiguracji: punktu startowego \(\displaystyle{ P(m, n) }\) ruch polega na jednym z trzech możliwości : w pionie w dół, w lewo, po przekątnej w dół (zawsze na punkt kratowy).
Gra dla dwóch osób, wygrywa ten, kto jako pierwszy będzie w \(\displaystyle{ (0,0) }\). Czy istnieje strategia wygrywająca, jaka ona jest, i czy zależy od punktu startowego ?
19. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ x, y}\) takich, że \(\displaystyle{ y(y+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x(x+1)}\) i takich, że zarówno \(\displaystyle{ y}\) jak i \(\displaystyle{ y+1 }\) nie dzielą się ani przez \(\displaystyle{ x }\) ani przez \(\displaystyle{ x+1 }\).
20. W rozgrywkach ligi piłkarskiej wzięło udział \(\displaystyle{ 2n }\) drużyn (\(\displaystyle{ n >2}\)) i odbyło się \(\displaystyle{ 2n−1 }\) kolejek. W każdej kolejce każda drużyna rozegrała jeden mecz. Dowolne dwie drużyny spotkały się ze sobą podczas rozgrywek w dokładnie jednym meczu. Ponadto w każdym meczu jedna drużyna była gospodarzem, a druga gościem. Drużynę nazwiemy podróżującą, jeżeli w dowolnych dwóch sąsiednich kolejkach była ona raz gospodarzem i raz gościem. Udowodnić, że istnieją co najwyżej dwie drużyny podróżujące.
21. Fibonacci i modulo
Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ f_{n }+2 \equiv f_{n+1} +1 \equiv f_{n+2} \ (mod \ m). }\)
22. Jacek i Agatka seriami rzucają kostką dopóki nie wyrzucą tej samej liczby oczek. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby serii rzutów.
23. Niech \(\displaystyle{ p, q }\) będą różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, zaś \(\displaystyle{ n }\) dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, ze istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ k(n-k)}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ pq.}\)
Gulf Math Olympiad
24. Liczba Nivena; Trzy pytania
Liczba Nivena to taka, która jest podzielna przez sumę swych cyfr.
i) Czy kwadrat liczby Nivena jest Nivena ?
ii) Jaki jest możliwie najdłuższy ciąg kolejnych liczb naturalnych, które są Nivena?
iii) Czy dzielnik liczby Nivena jest Nivena ?
25. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) wielomian \(\displaystyle{ (x^4-1)^n + (x^2-x)^n }\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^5-1 }\) ?
26. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 47 }\) dzieli \(\displaystyle{ 3^x-2^y}\) jeśli \(\displaystyle{ 23 }\) dzieli \(\displaystyle{ 4x+y}\) (i na odwrót).
27. Wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ x^8+ 98x^4+1 }\) jest nierozkładalny (nie jest iloczynem wielomianów niestałych o współczynnikach całkowitych).
28. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ n }\) takie, że \(\displaystyle{ 2^n -1 }\) ma \(\displaystyle{ n }\) dzielników (nie mniej i nie więcej).
29. W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD }\), \(\displaystyle{ M }\) i \(\displaystyle{ N }\) są środkami boków \(\displaystyle{ BC }\) i \(\displaystyle{ AD}\) odpowiednio. Czy jest możliwym aby \(\displaystyle{ AB+CD > \max (AM+DM, BN+CN ) }\) ?
30. Równanie z logarytmem
Niech \(\displaystyle{ 1<a<b }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3a}{\log_{a} b} = \frac{b}{2\log_{b} a} = \frac{3a+b}{3}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \log_{a} b.}\)
polinomyal (artofproblemsolving.com)
31. Drogi w digrafie
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grafem, w którym największy stopień wierzchołka jest równy \(\displaystyle{ q}\). Wykazać, że istnieje orientacja tego grafu, dla której nie ma drogi długości większej niż \(\displaystyle{ q}\).
Uwagi: Droga w grafie jest trasą po różnych krawędziach i wierzchołkach (za ewentualnie wyjątkiem pierwszego i ostatniego).
32. Na stosie jest \(\displaystyle{ 2021}\) kamyków, gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wykonują na przemian swe ruchy; w jednym posunięciu \(\displaystyle{ A}\) może zdjąć ze stosu \(\displaystyle{ 1, }\) bądź \(\displaystyle{ 2}\), bądź \(\displaystyle{ 7}\) kamieni, a \(\displaystyle{ B}\) może zdjąć ze stosu \(\displaystyle{ 1, }\) bądź \(\displaystyle{ 3}\), bądź \(\displaystyle{ 4}\) bądź \(\displaystyle{ 6}\) kamieni. Grę rozpoczyna \(\displaystyle{ A}\). Czy istnieje dla któregoś z nich strategia wygrywająca i jeśli tak, to jaka ?
Cono Sur
33. W \(\displaystyle{ 2n+2}\) kącie wypukłym narysowano \(\displaystyle{ n^2}\) przekątnych. Udowodnić, że któraś z nich rozcina ten \(\displaystyle{ 2n+2}\) kąt na dwa wielokąty o nieparzystej liczbie wierzchołków.
34. Obliczyć długość krzywej \(\displaystyle{ (y - \arcsin(x))^2 +x^2=1 }\) ?
35. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje \(\displaystyle{ n }\) kąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki są to punkty kratowe, i wewnątrz którego nie ma żadnych punktów kratowych ?
36. Ułamek zbilansowany to taki, w którym licznik i mianownik składają się z tej samej liczby czynników pierwszych - niekoniecznie różnych (np. \(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 8} }\) jest zbilansowany, ale \(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 5 \cdot 9}{7 \cdot 8} }\) nie jest ). Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k }\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie , że każdy z ułamków
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}, \frac{x+1}{y+1}, \frac{x+2}{y+2}, … , \frac{x+k}{y+k}, }\)
jest zbilansowany.
37. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie taka, że \(\displaystyle{ f( f(x) ) = 4x+1}\). Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ f(x) = x}\) ma jedno jedyne rozwiązanie.
38. Zbadać czy istnieje ciąg \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3,…}\) że:
i) każda liczba naturalna jest w nim tylko jeden raz
ii) i tę samą własność ma też ciąg \(\displaystyle{ |a_1- a_2|, |a_2-a_3|, |a_3-a_4|, …}\)
39. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f }\) takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(\frac{\sqrt{3}}{3}x) = \sqrt{3}f(x) - \frac{2\sqrt{3}}{3}x \\ f(x)f(y) = f(xy)+ f(\frac{x}{y}) \end{cases}}\)
o ile \(\displaystyle{ x, y \in \RR }\) i \(\displaystyle{ y \neq 0.}\)
40. Niech \(\displaystyle{ ABC }\) będzie trójkątem ostrokątnym, niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ BC}\), punkt \(\displaystyle{ P}\) jest na odcinku \(\displaystyle{ AM}\), proste \(\displaystyle{ BP}\) i \(\displaystyle{ CP}\) przecinają okrąg opisany w punktach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) oraz boki \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D }\) i \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ AXD}\) i \(\displaystyle{ AYE}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ T \neq A}\) na prostej \(\displaystyle{ AM}\).
Saudi Arabia
Ostatnio zmieniony 27 gru 2021, o 17:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja. Poprawa wiadomości.
Powód: Interpunkcja. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3
5:
Kwadrat w zad 13 ma bok `n+1`.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3
W zadaniu pierwszym próbowałem tworzyć układy symetryczne ale to niewiele dało bo wychodzą tożsamości...
Dopiero jak znalazłem układ niesymetryczny odniosłem sukces. czyli tak opiszę konstrukcję:
Narysowałem okrąg, opisałem na nim trójkąt równoboczny (wierzchołki \(\displaystyle{ a,b,c}\)), obróciłem go o 180 stopni i otrzymałem trójkąt też równoboczny , wierzchołki: \(\displaystyle{ (x,y,z)}\). Wiadomo, że:
(*) \(\displaystyle{ a+b+c=3c_{1}=x+y+z}\) , \(\displaystyle{ c_{1}}\) -środek koła
żeby było łatwiej wierzchołki tak przechodzą po obrocie o \(\displaystyle{ 180^o}\) \(\displaystyle{ (a,b,c) \rightarrow (x,y,z)}\)
żeby było łatwiej sobie wyobrazić to trójkąt \(\displaystyle{ abc}\) stoi na podstawie a \(\displaystyle{ x,y,z}\) na wierzchołku...
Teraz przedłużam boki sześciokąta: \(\displaystyle{ zb}\) i \(\displaystyle{ cx}\) tak , że się przetną w punkcie \(\displaystyle{ t}\)
Jak widać trójkąty:\(\displaystyle{ bct}\) i\(\displaystyle{ zxt}\) mają wspólny wpisany okrąg o jakimś tam np. środku \(\displaystyle{ c_{2}}\)
mamy więc:
\(\displaystyle{ b+t+c=z+x+t}\)
lub:
\(\displaystyle{ b+c=z+x}\)
co w połączeniu z (*) daje:
\(\displaystyle{ a+z+x=x+y+z }\)
lub po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ a=y}\)
A skoro dwa punkty na płaszczyźnie są równe to dobierając okręgi, ich środki można wykazać, że wszystkie punkty są równe, cnd...
Dopiero jak znalazłem układ niesymetryczny odniosłem sukces. czyli tak opiszę konstrukcję:
Narysowałem okrąg, opisałem na nim trójkąt równoboczny (wierzchołki \(\displaystyle{ a,b,c}\)), obróciłem go o 180 stopni i otrzymałem trójkąt też równoboczny , wierzchołki: \(\displaystyle{ (x,y,z)}\). Wiadomo, że:
(*) \(\displaystyle{ a+b+c=3c_{1}=x+y+z}\) , \(\displaystyle{ c_{1}}\) -środek koła
żeby było łatwiej wierzchołki tak przechodzą po obrocie o \(\displaystyle{ 180^o}\) \(\displaystyle{ (a,b,c) \rightarrow (x,y,z)}\)
żeby było łatwiej sobie wyobrazić to trójkąt \(\displaystyle{ abc}\) stoi na podstawie a \(\displaystyle{ x,y,z}\) na wierzchołku...
Teraz przedłużam boki sześciokąta: \(\displaystyle{ zb}\) i \(\displaystyle{ cx}\) tak , że się przetną w punkcie \(\displaystyle{ t}\)
Jak widać trójkąty:\(\displaystyle{ bct}\) i\(\displaystyle{ zxt}\) mają wspólny wpisany okrąg o jakimś tam np. środku \(\displaystyle{ c_{2}}\)
mamy więc:
\(\displaystyle{ b+t+c=z+x+t}\)
lub:
\(\displaystyle{ b+c=z+x}\)
co w połączeniu z (*) daje:
\(\displaystyle{ a+z+x=x+y+z }\)
lub po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ a=y}\)
A skoro dwa punkty na płaszczyźnie są równe to dobierając okręgi, ich środki można wykazać, że wszystkie punkty są równe, cnd...
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdzieś
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 11 razy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3
W jakim sensie?, to tylko dwa wierzchołki sześciokąta foremnego, potem można tworzyć łamaną wypełniającą całą płaszczyznę zaczynając od:czy y nie zależy od a ?
\(\displaystyle{ y=a=r_{1}=r_{2}=...}\)
Dodano po 32 minutach 18 sekundach:
Zad. 16
Ukryta treść:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Mix dla smakoszy pomysłów 33 1/3
Co do szóstego to z tw. P. Erdosa każda liczba rzeczywista da się przedstawić jako suma albo iloczyn dwóch liczb Liouville’a...
Dodano po 3 godzinach 41 minutach 29 sekundach:
Zad. 25
Dodano po 14 minutach 1 sekundzie:
Zad 27 jest rozkładalny:
\(\displaystyle{ x^8+98x^4+1=(x^4-4x^3+8x^2+4x+1)(x^4+4x^3+8x^2-4x+1)}\)
Dodano po 3 godzinach 41 minutach 29 sekundach:
Zad. 25
Ukryta treść:
Zad 27 jest rozkładalny:
\(\displaystyle{ x^8+98x^4+1=(x^4-4x^3+8x^2+4x+1)(x^4+4x^3+8x^2-4x+1)}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy