[MIX] Łatwe i Przyjemne

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: mol_ksiazkowy »

Mix
1. Wypisujemy ciąg krotności dziewiątki :
(*) \(\displaystyle{ 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, ... }\)
a potem ciąg sum ich cyfr
(**) \(\displaystyle{ 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18,... }\)
Należy podać regułę następstwa liczb w tym ciągu (**).
Na którym miejscu w tym ciągu będzie po raz pierwszy \(\displaystyle{ 81 }\) i jaka będzie następna po niej liczba ? Co nastąpi wcześniej w tym ciągu - 4 razy kolejno \(\displaystyle{ 27 }\) czy 3 razy kolejno \(\displaystyle{ 36 }\) ?
математигеское просвещене
2. W macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ n \times n}\) nie ma identycznych wierszy. Udowodnić, że można usunąć z niej jedną kolumną tak, aby w okrojonej macierzy \(\displaystyle{ n \times (n-1)}\) także nie było identycznych wierszy.
3. Dla jakich \(\displaystyle{ f: (0, +\infty ) \to (0, +\infty )}\) jest \(\displaystyle{ xy\left( \frac{f(x)}{y} + \frac{f(y)}{x}\right)= 2}\), gdy \(\displaystyle{ x, y >0 }\) ?
4. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) można kwadrat rozbić na \(\displaystyle{ n}\) nieprzystających części o równym polu ?
5. Niech ciag \(\displaystyle{ d_{n} }\) bedzie pierwszą cyfrą \(\displaystyle{ 2^n}\). Wykazać, że jest dokładnie \(\displaystyle{ 57}\) różnych trzynastek w ciągu \(\displaystyle{ (d_1,...,d_{13}), (d_2,...,d_{14}), (d_3,...,d_{15}), ...}\)
6. Ile jest permutacji \(\displaystyle{ p }\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,..., n \} }\) takich, że \(\displaystyle{ |p(j)-j| \leq 1 }\) dla \(\displaystyle{ j=1,...,n}\) ?
7. Czy z trzech papierowych trójkątów można skleić siatkę sześcianu ? Uzasadnić.
Uwagi: Trójkąty nie mogą zachodzić na siebie
8. Udowodnić, że ciag
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{n+1}= x_n( \frac{3}{2} - x_n^2) \\ x_1=1 \end{cases}}\)
jest zbieżny do \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}.}\)
9. Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k }\) istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), które ma dokładnie dla \(\displaystyle{ k}\) dzielników pierwszych, zaś \(\displaystyle{ N+1}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ k}\) dzielników pierwszych.
10. Pochodna łamanej; Niech \(\displaystyle{ L}\) bedzie łamaną zwyczajną i niech \(\displaystyle{ L^{\prime}}\) będzie łamaną zbudowaną z połączenia środków kolejnych odcinków \(\displaystyle{ L}\).
i) Czy odwzorowanie \(\displaystyle{ L \mapsto L^{\prime}}\) jest różnowartościowe ?
ii) Czy jeśli \(\displaystyle{ L^{\prime}}\) jest łamaną zamkniętą, to także jest nią \(\displaystyle{ L}\) ?
11. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą nieparzystą niepodzielną przez \(\displaystyle{ 3}\), to \(\displaystyle{ \lfloor 4^m - (2+\sqrt{2})^m \rfloor}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\).
12. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\sin(x)+3\cos(y)=3 \\ 3 \sin(y)+ 2\cos(x)=4. \end{cases}}\)
SyberMath
13. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) zachodzi twierdzenie:
Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grafem prostym o \(\displaystyle{ n}\) wierzchołkach, to istnieją \(\displaystyle{ u, v}\) takie, że liczba wierzchołków połączonych zarówno z \(\displaystyle{ u}\) jak i z \(\displaystyle{ v}\) jest parzysta.
14. Jeden z graczy wykonał \(\displaystyle{ n+1}\) rzutów kostką do gry, a drugi \(\displaystyle{ n}\) rzutów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ten pierwszy wyrzucił więcej szóstek niż drugi ?
15. Wyznaczyć wszystkie surjekcje \(\displaystyle{ f: \NN \to \NN}\) takie, że warunki
i) \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ m}\)
ii) \(\displaystyle{ f(n)}\) dzieli \(\displaystyle{ f(m)}\)
są równoważne.
16. Szachiści rozgrywają partię przy włączonych zegarach; zakończyła sie ona po wykonaniu 40 posunięć przez każdego z graczy i obydwaj oni zużyli po 150 minut. Wykazać, że w jakimś momencie gry któryś z nich zużył o 1 minutę i 51 sekund czasu więcej niż przeciwnik.
17. Jeśli \(\displaystyle{ S \subset \NN}\) i \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ S \oplus \{ n \} = \{ s+n \ : s \in S \}}\). Zdefiniowany jest ciąg zbiorów:
\(\displaystyle{ \begin{cases} S_1 = \{ 1 \} \\ S_k =(S_{k-1} \oplus \{ k \}) \cup \{ 2k-1 \}. \end{cases}}\)
i) Wyznaczyć zbiór \(\displaystyle{ \NN \setminus \bigcup_{k=1}^{+\infty} S_k.}\)
ii) Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) : \(\displaystyle{ 2021 \in S_k}\) ?
18. Udowodnić, że \(\displaystyle{ (50! )^2+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 101.}\)
19. Dany jest trójkat równoboczny o boku \(\displaystyle{ n}\), który został podzielony na \(\displaystyle{ n^2}\) trójkątów równobocznych o boku \(\displaystyle{ 1}\) przez proste równoległe do boków. Jeden z tych trójkącików jednostkowych jest czerwony a pozostałe są niebieskie. R u c h polega na zamianie kolorów wszystkich trójkącików między dowolnymi prostymi równoległymi. Czy po wykonaniu skończonej liczby ruchów wszystkie trójkąty jednostkowe moga byc niebieskie ?
20. Cięciwy \(\displaystyle{ QR}\) i \(\displaystyle{ Q^{\prime}R^{\prime}}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ P}\) (na zewnątrz okręgu) ; odcinki \(\displaystyle{ PA}\) i cięciwa \(\displaystyle{ PA^{\prime}}\) są stycznymi (\(\displaystyle{ A, \ A^{\prime}}\) to punkty na okręgu). Udowodnić, że \(\displaystyle{ A, \ X, \ A^{\prime}}\) są współliniowe, gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest punktem wspólnym \(\displaystyle{ QR^{\prime}}\) i \(\displaystyle{ Q^{\prime}R.}\)
21. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^4+8x -7=0.}\)
22. Dowolny punkt okręgu został pomalowany jednym z trzech kolorów. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójkątów równoramiennych o jednokolorowych wierzchołkach wpisanych w ten okrąg.
23. Dany jest ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{2n} = a_2a_n +1 \\ a_{2n+1} = a_2a_n-2 \\ a_7=2 \\ 0< a_1 <1. \end{cases} }\)
Obliczyć \(\displaystyle{ a_{25}.}\)
24. Udowodnić (pięcioma różnymi sposobami), że \(\displaystyle{ f(x) = e^x+e^{-x} }\) nie jest wielomianem.
25. Jaki jest współczynnik \(\displaystyle{ (1+x)(1+x^2)...(1+x^{26})}\) przy \(\displaystyle{ x^{13}}\) ?
26. Niech \(\displaystyle{ n>2}\) i niech \(\displaystyle{ P_{1}, ..., P_{n}}\) będą dowolnymi punktami na ustalonym okręgu jednostkowym. I niech \(\displaystyle{ D_{i}}\) będzie kołem jednostkowym o środku w \(\displaystyle{ P_{i}}\). Wyznaczyć największe możliwe pole figury \(\displaystyle{ D_{1} \cup ... \cup D_n.}\)
27. Kolejne wyrazy ciągu słów zbudowanych z liter \(\displaystyle{ A, B}\) według reguły:
\(\displaystyle{ \begin{cases}A:=AAB\\ B:=A\end{cases} }\)
tj. \(\displaystyle{ A, \ AAB, \ AABAABA, ...}\). Wykazać, że ten ciąg nie jest okresowy.
28. Wyznaczyć wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{2 \pi}{7}\right), \ \cos\left( \frac{4 \pi}{7}\right), \ \cos\left( \frac{6 \pi}{7}\right).}\)
29. Na ile sposobów może być rozdzielony prostokąt \(\displaystyle{ 2 \times n}\) na prostokąty o całkowitych bokach ?
30. Jeden z boków kwadratu jest styczny do okręgu, a przeciwległy bok tego kwadratu jest cięciwą okręgu. Która z tych figur (kwadrat czy okrąg) ma większy obwód ?
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2021, o 19:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: a4karo »

24:    
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: Jan Kraszewski »

3:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: a4karo »

24 cd:    
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: Thingoln »

12:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: kerajs »

30:    
25:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: a4karo »

10:    
Dodano po 48 minutach 10 sekundach:
23:    
Dodano po 10 minutach 3 sekundach:
15:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: timon92 »

24:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: kerajs »

21:    
6:    
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2021, o 09:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: mol_ksiazkowy »

24 cd
Ukryta treść:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: a4karo »

16:    
Dodano po 32 minutach 22 sekundach:
8:    
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: Tmkk »

28.
Ukryta treść:    
18.
Ukryta treść:    
2.
Ukryta treść:    
6.
Ukryta treść:    
A, właśnie zobaczyłem, że kerajs już wrzucił \(\displaystyle{ 6}\), to sorki.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: Dasio11 »

Tmkk pisze: 21 wrz 2021, o 18:11I tak dalej, i tak dalej, w każdym kroku dołączamy co najmniej jeden nowy wiersz, którego nie można już wybrać w przyszłych krokach.
To nie jest oczywiste.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: Tmkk »

Masz rację, beznadziejnie to zrobiłem.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Łatwe i Przyjemne

Post autor: mol_ksiazkowy »

20 cd
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ