Gra logiczna

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Karolo2337
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 mar 2021, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy

Gra logiczna

Post autor: Karolo2337 » 11 maja 2021, o 14:31

Przebywający na kwarantannie Jan wymyślił grę, która umila mu czas, Bierze trzy pudełka i rozkłada w nich pewną liczbę zapałek. Nastepnie biorąc dwie zapałki z jednego z tych pudełek przekłada po jednej z nich do dwóch pozostalych. Taką czynność może powtarzać biorąc za każdym razem dwie zapałki z dowolnie wybranego pudełka zawierającego co najmniej dwie zapałki. celem tej zabawy jest uzyskanie jednakowej liczby zapałek w każdym pudełku. Zdarza się, że cel ten jest nieosiągalny nawet wtedy, gdy liczba zapałek w trzech pudełkach jest podzielna przez 3. Dziś rozłożył 90 zapałek kładąc 19 z nich w pudełku A, 31 w pudełku B i 40 w pudełku C. czy może w tym przypadku osiągnąć upragniony cel? Jeśli tak, to jaka jest minimalna liczba ruchów (przełożeń dwóch zapałek z jednego pudełka do dwóch pozostałych), które musi wykonać. Jeśli nie, uzasadnić dlaczego jest to niewykonalne.

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc :)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15371
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5116 razy

Re: Gra logiczna

Post autor: Premislav » 11 maja 2021, o 14:59

Powiedzmy, że mamy sekwencję, w której z pudełka \(\displaystyle{ A}\) wyjęto dwie zapałki \(\displaystyle{ x}\) razy, z pudełka \(\displaystyle{ B}\) wyjęto dwie zapałki \(\displaystyle{ y}\) razy, zaś z pudełka \(\displaystyle{ C}\) wyjęto dwie zapałki \(\displaystyle{ z}\) razy.
Zatem po wykonaniu takiej sekwencji ruchów w pudełku \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ 19-2x+y+z}\) zapałek, w pudełku \(\displaystyle{ B}\) znajduje się ich dokładnie \(\displaystyle{ 31+x-2y+z}\), natomiast w pudełku \(\displaystyle{ C}\) będzie \(\displaystyle{ 40+x+y-2z}\) zapałek.
To prowadzi nas do układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}19-2x+y+z=30\\31+x-2y+z=30\\40+x+y-2z=30 \end{cases} }\)

Czy ma on rozwiązanie w liczbach naturalnych?

ODPOWIEDZ