Nierówność niby ze średnich

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7304
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 949 razy

Nierówność niby ze średnich

Post autor: Kartezjusz » 3 maja 2021, o 14:18

Udowodnić dla liczb dodatnich
\(\displaystyle{ 3+a+b+c+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{1+abc} }\)
Wiem, że równość jest dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\) oraz, że lewa strona jest większa od 12 z nierówności średnich.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: Nierówność niby ze średnich

Post autor: bosa_Nike » 3 maja 2021, o 14:36

Nie sądzę, żeby w równość w tej nierówności zachodziła tam, gdzie piszesz, że zachodzi, ani w ogóle gdziekolwiek dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\).

Dodano po 1 dniu 9 godzinach 4 minutach 56 sekundach:
Dobra, może są zakłócenia na łączach... Chodziło mi o to, że nierówność w tej postaci co prawda zachodzi, ale jest... marna. Wystarczy zastąpić wyrażenie cykliczne \(\displaystyle{ \sum\frac{a}{b}}\) po lewej stronie przez trójkę i pomnożyć wszystko przez mianownik prawej strony, żeby zobaczyć, że to trzyma bez równości.
Moim zdaniem, przy tych samych warunkach, trochę ciekawsza będzie taka: $$3+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{3(1+a)(1+b)(1+c)}{1+abc}.$$
Nie wiem tylko, czy to wyjdzie ze średnich, mnie nie wyszło. Biorę po dwieście złotych z konta każdej drużyny i słucham Państwa.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: Nierówność niby ze średnich

Post autor: Premislav » 5 maja 2021, o 00:54

niezbyt satysfakcjonujące:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1598
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 424 razy

Re: Nierówność niby ze średnich

Post autor: bosa_Nike » 5 maja 2021, o 01:46

A, no taak, bo to trzeba było się tym razem akurat nie pomylić w mnożeniu... Całkowicie mnie takie rozwiązanie satysfakcjonuje.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7304
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 949 razy

Re: Nierówność niby ze średnich

Post autor: Kartezjusz » 5 maja 2021, o 08:24

Też dziękuję. Tym Chińczycy wygrywają IMO, że nie boją się żmudnieivzyć oraz są w tym dobrzy

ODPOWIEDZ