Matematyka.pl

Udowodnić dla liczb dodatnich
\(\displaystyle{ 3+a+b+c+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{1+abc} }\)
Wiem, że równość jest dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\) oraz, że lewa strona jest większa od 12 z nierówności średnich.

Nie sądzę, żeby w równość w tej nierówności zachodziła tam, gdzie piszesz, że zachodzi, ani w ogóle gdziekolwiek dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\).

Dodano po 1 dniu 9 godzinach 4 minutach 56 sekundach:
Dobra, może są zakłócenia na łączach... Chodziło mi o to, że nierówność w tej postaci co prawda zachodzi, ale jest... marna. Wystarczy zastąpić wyrażenie cykliczne \(\displaystyle{ \sum\frac{a}{b}}\) po lewej stronie przez trójkę i pomnożyć wszystko przez mianownik prawej strony, żeby zobaczyć, że to trzyma bez równości.
Moim zdaniem, przy tych samych warunkach, trochę ciekawsza będzie taka: $$3+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{3(1+a)(1+b)(1+c)}{1+abc}.$$
Nie wiem tylko, czy to wyjdzie ze średnich, mnie nie wyszło. Biorę po dwieście złotych z konta każdej drużyny i słucham Państwa.

A, no taak, bo to trzeba było się tym razem akurat nie pomylić w mnożeniu... Całkowicie mnie takie rozwiązanie satysfakcjonuje.

Też dziękuję. Tym Chińczycy wygrywają IMO, że nie boją się żmudnieivzyć oraz są w tym dobrzy