Ciągi

[Karolo2337]

Czy można tak uporządkować cyfry od 1 do 9, żeby liczby utworzone z dwóch kolejnych cyfr tego ciągu były podzielne przez 7 lub 13? Jeśli tak to podać wszystkie ciągi liczb, które spełniają warunki zadania(wraz z uzasadnieniem, ze innych nie ma), jeśli nie-uzasadnić dlaczego.

Byłbym wdzięczny za pomoc

[bosa_Nike]

Ukryta treść:    

Wypiszemy dwucyfrowe liczby podzielne przez siedem, w których nie występuje zero i których cyfry są różne. To samo dla trzynastu.

\(\displaystyle{ "7": \left\{14,21,28,35,42,49,56,63,84,91,98\right\}}\)
\(\displaystyle{ "13":\left\{13,26,39,52,65,78,91\right\}}\)

Widać stąd, że jeżeli ciąg spełniający warunki zadania istnieje, to liczba siedem musi być jego pierwszym wyrazem (bo siódemka nie występuje nigdzie indziej). Stąd od razu mamy jedyny możliwy początek: \(\displaystyle{ 7,8,4}\). Dalej dla większej przejrzystości możemy (choć nie musimy) wywalić liczby, których już nie wolno nam użyć. Poniżej to, co zostaje.

\(\displaystyle{ "7": \left\{21,35,42,49,56,63,91\right\}}\)
\(\displaystyle{ "13":\left\{13,26,39,52,65,91\right\}}\)

Następnym wyrazem może być tylko \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 9}\). Poniżej kontynuacje, już bez beletrystyki (mam nadzieję, że schemat jest jasny).

\(\displaystyle{ 7,8,4,2,1,3,5,6,*}\)
\(\displaystyle{ 7,8,4,2,1,3,9,*}\)
\(\displaystyle{ 7,8,4,2,6,3,5,*}\)
\(\displaystyle{ 7,8,4,2,6,3,9,1,*}\)
\(\displaystyle{ 7,8,4,2,6,5,*}\)

\(\displaystyle{ 7,8,4,9,1,3,5,2,6}\)
\(\displaystyle{ 7,8,4,9,1,3,5,6,*}\)

Jeżeli nie ma pomyłki, to mamy jedyny ciąg spełniający warunki zadania.