Wykaż nierówność

[mhgihg]

Witam. Mam problem z wykazaniem następującej nierówności:
Wykaż, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a, b \in \RR }\) takich, że \(\displaystyle{ a>b}\) oraz \(\displaystyle{ ab=1}\) zachodzi następująca nierówność: \(\displaystyle{ \left( \frac{a^{2}+b^{2}}{2a-2b}\right)^{2} \ge 2. }\)

[bosa_Nike]

To jest \(\displaystyle{ \left((a-b)^2+2ab\right)^2\ge 8(a-b)^2}\) i wynika wprost z nierówności \(\displaystyle{ (x+y)^2\ge 4xy}\).
Tutaj spokojnie też można posiłkować się faktem, że to można sprowadzić do nierówności wielomianowej jednej zmiennej rzeczywistej (niezerowej). To w ostateczności też powinno zadziałać.

[Janusz Tracz]

Kładziemy \(\displaystyle{ b=1/a}\) i zapisujemy równoważnie:

\(\displaystyle{ \left( a^2+ \frac{1}{a^2} \right)^2 \ge 8\left( a- \frac{1}{a} \right) ^2 }\)

\(\displaystyle{ \left( a^2+ \frac{1}{a^2} \right)^2 - 8\left( a- \frac{1}{a} \right) ^2 \ge 0 }\)

\(\displaystyle{ \frac{\left( a^4-4a^2+1\right)^2 }{a^4} \ge 0 }\)