Witam. Mam problem z wykazaniem następującej nierówności:
Wykaż, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a, b \in \RR }\) takich, że \(\displaystyle{ a>b}\) oraz \(\displaystyle{ ab=1}\) zachodzi następująca nierówność: \(\displaystyle{ \left( \frac{a^{2}+b^{2}}{2a-2b}\right)^{2} \ge 2. }\)
Wykaż nierówność
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 mar 2021, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 14
- Podziękował: 2 razy
Wykaż nierówność
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2021, o 19:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
Re: Wykaż nierówność
To jest \(\displaystyle{ \left((a-b)^2+2ab\right)^2\ge 8(a-b)^2}\) i wynika wprost z nierówności \(\displaystyle{ (x+y)^2\ge 4xy}\).
Tutaj spokojnie też można posiłkować się faktem, że to można sprowadzić do nierówności wielomianowej jednej zmiennej rzeczywistej (niezerowej). To w ostateczności też powinno zadziałać.
Tutaj spokojnie też można posiłkować się faktem, że to można sprowadzić do nierówności wielomianowej jednej zmiennej rzeczywistej (niezerowej). To w ostateczności też powinno zadziałać.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Wykaż nierówność
Kładziemy \(\displaystyle{ b=1/a}\) i zapisujemy równoważnie:
\(\displaystyle{ \left( a^2+ \frac{1}{a^2} \right)^2 \ge 8\left( a- \frac{1}{a} \right) ^2 }\)
\(\displaystyle{ \left( a^2+ \frac{1}{a^2} \right)^2 - 8\left( a- \frac{1}{a} \right) ^2 \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{\left( a^4-4a^2+1\right)^2 }{a^4} \ge 0 }\)