[MIX] Groch z kapustą

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Groch z kapustą

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Jeśli \(\displaystyle{ X(a,b) }\) i \(\displaystyle{ Y(c,d) }\) są punktami na płaszczyźnie, to niech \(\displaystyle{ d(X,Y) =|a-c|+ |b-d|}\); układ \(\displaystyle{ X,Y }\) jest harmonicznym, jeśli \(\displaystyle{ 1 < d(X,Y ) \leq 2 }\). Ile co najwyżej harmonicznych układów jest wśród \(\displaystyle{ 100}\) różnych punktów na płaszczyźnie ?
2. Niech \(\displaystyle{ W }\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n }\) o współczynnikach rzeczywistych takim, że \(\displaystyle{ |W(x)| \leq 1}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq x \leq 1 }\). Wykazać, że \(\displaystyle{ |W(-\frac{1}{n})| \leq 2^{n+1} - 1 }\).
3. Kwadrat rozbito na dwa sposoby na \(\displaystyle{ 100}\) części o równych polach. Udowodnić, że można wybrać \(\displaystyle{ 100}\) punktów, tak aby w każdej części pierwszego rozbicia i w każdej części drugiego rozbicia był dokładnie jeden punkt.
4. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n }\) jest iloczynem \(\displaystyle{ m }\) różnych liczb pierwszych nieparzystych, to \(\displaystyle{ 2^n+1}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ 4^m }\) różnych dzielników naturalnych.
5. Wyznaczyć sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos n \alpha}{2^n} }\), jeśli \(\displaystyle{ \cos(\alpha)= \frac{1}{5} }\).
6. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10}\).
7. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \lfloor an \rfloor + \lfloor bn \rfloor = \lfloor cn \rfloor }\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n }\) to choć jeden ze współczynników \(\displaystyle{ a, b, c}\) jest całkowitym.
8. Wyznaczyć maksymalną wartość \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) dla rozwiązań układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y = z +t \\ 2xy = zt \end{cases}}\)
w liczbach naturalnych, i dla \(\displaystyle{ y \leq x}\).
9. Który wyraz nie pasuje do pozostałych: hipopotam, nosorożec, tygrys, terma, taboret, kostium ?
Focus

10. Funkcja \(\displaystyle{ f: (0, +\infty) \to \RR }\) spełnia warunki:
i) \(\displaystyle{ f }\) jest rosnąca (tj. \(\displaystyle{ f(x)> f(y) }\) dla \(\displaystyle{ x > y }\)),
ii) \(\displaystyle{ f (x) > - \frac{1}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x > 0 }\),
ii) \(\displaystyle{ f (x) f( f(x)+ \frac{1}{x})=1}\) dla \(\displaystyle{ x > 0 }\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f(1) }\).
11. Czy objętość walca obrotowego o osi na której jest środek kuli, wyciętego z tej kuli, zależy od średnicy kuli ?
12. Ciąg \(\displaystyle{ x_n }\) ma własność podzielności pierwszej jeśli \(\displaystyle{ x_p}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\), gdy \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Udowodnić, że ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=0 \\ x_2=2\\x_3=3\\x_n = x_{n-2}+ x_{n-3} \end {cases}}\)
ma tę własność.

13. Gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) grają w prostą grę liczbową, w której \(\displaystyle{ n}\) zastępuje się w kolejnym ruchu przez \(\displaystyle{ n+d}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n}\). Wygrywa ten, kto jako pierwszy ma kwadrat liczby całkowitej
Przykład
A: \(\displaystyle{ n = 13 }\)
B: \(\displaystyle{ d = 13 , \ n=26}\)
A: \(\displaystyle{ d = 1 , \ n=27}\)
B: \(\displaystyle{ d = 9 , \ n=36}\)
\(\displaystyle{ B}\) wygrywa.
Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) wejściowych \(\displaystyle{ A}\) ma strategię wygrywającą ?

14. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ p^2+a^2=b^2 }\) gdzie \(\displaystyle{ p>3 }\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ 2(a+p+1) }\) jest kwadratem liczby całkowitej.
15. Na płaszczyźnie jest sześć punktów. Połączono każdy z nich z czterema innymi punktami nieprzecinającymi się krzywymi. Wykazać, że na tak narysowanej mapie wszystkie obszary są trójkątami.
16. Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest zabawna jeśli \(\displaystyle{ f( f(x)) = -x }\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR }\). Wskazać przykład takiej \(\displaystyle{ f}\) i wykazać, że funkcja zabawna nie może być ciągła.
Simon Marais Math Competition

17. Z zapisu dziesiętnego liczby naturalnej usunięto wszystkie zera jakie miała i powstała liczba dziewięć razy mniejsza. Jaka to była /były liczba ?
18. Podać przykład trójkąta na płaszczyźnie hiperbolicznej, na którym nie można opisać okręgu.
19. Suma cyfr liczby \(\displaystyle{ n }\) jest równa \(\displaystyle{ 100 }\) , a suma cyfr \(\displaystyle{ 44n }\) jest równa \(\displaystyle{ 800}\). Ile jest równa suma cyfr \(\displaystyle{ 3n }\) ?
Kwant

20. P i e s na b a b y; Kobieta żyje w odległości \(\displaystyle{ x=50\,m }\) od jeziora, które ma kształt okręgu. W jakiej odległości od jeziora można umieścić złego psa, aby kobieta mogła bezpiecznie wykąpać się w jeziorze ?
Uwagi: Należy założyć, że kobieta biega trzykrotnie wolniej niż pies.

21. Wyspa i rzeka ; Na rzece o szerokości \(\displaystyle{ 100\,m}\) jest wyspa o łącznym obwodzie \(\displaystyle{ 800\,m}\). Udowodnić, ze z każdego punktu brzegu istnieje droga przez rzekę na drugi brzeg, krótsza niż \(\displaystyle{ 300\,m}\) i omijająca całkowicie wyspę.
22. Wyjaśnić konstrukcję ciągu \(\displaystyle{ …, 73, 43, 21, 7, 1, 3, 13, 31,… }\).
23. Udowodnić, że \(\displaystyle{ K_5 }\) ma \(\displaystyle{ 264 }\) łańcuchy Eulera.
24. Wymyślić algorytm znajdywania liczby krawędziowo rozłącznych najkrótszych dróg między dowolnymi nieincydentnymi wierzchołkami grafu.
25. W każde pole szachownicy \(\displaystyle{ 5 \times 5 }\) o ile to możliwe, należy wstawić jedną z liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, 5 \} }\) , w ten sposób aby w dowolnych rzędach, kolumnach i przekątnych były tylko różne liczby.
Mózgowiec
26. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy = z - (x+y) \\ yz = x - (y+z) \\ zx =y - (x+z). \end{cases}}\)

27. Siedem pól szachownicy \(\displaystyle{ 6 \times 6 }\) tj. pola \(\displaystyle{ c1, d1, e1, c3, d3, e3, d2 }\) pomalowano na biało, a pozostałe na czarno. Należy narysować prostą, która obie figury: białą i czarną podzieli na dwie części o równych polach.
28. Średnicą zbioru skończonego \(\displaystyle{ X }\) nazywa się odcinek maksymalnej długości , spośród wszystkich odcinków o końcach z tego zbioru. Wykazać, że w zbiorze \(\displaystyle{ n }\) elementowym może być nie więcej niż \(\displaystyle{ n }\) średnic.
29. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ 0< x_1 <…<x_n}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{2^{4084441}+1}{2^{2021}+1} = 2^{x_1}+ …+2^{x_n}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\).
30. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem tych liczb całkowitych, które można przedstawić jako \(\displaystyle{ \frac{a+1}{b}+ \frac{b+1}{a}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi. Wyznaczyć sumę wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ S}\).
MathForces

31. Udowodnić, że \(\displaystyle{ { \frac{1}{2} \choose n } = \frac{(-1)^n}{2^n}}\).
32. Zadanie o mrówce; Mrówka idzie po kracie z punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) do \(\displaystyle{ (n,n) }\) ; niech \(\displaystyle{ X_k }\) będzie zmienną losową określającą liczbę punktów kratowych o obu współrzędnych równych przez które przejdzie. Wyznaczyć \(\displaystyle{ E(X_k) }\).
Uwagi: Mrówka nie może się cofać.

33. Udowodnić, że po redukcji iloczynu \(\displaystyle{ (1 - x + x^2 - x^3 + · · · - x^{99} + x ^{100})(1 + x + x^ 2 + · · · + x ^{99} + x ^{100})}\) nie ma w nim składników stopnia nieparzystego.
34. Wyznaczyć możliwie najmniejszy przedział na którym układ nierówności ma rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y > z+t \\ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} > \frac{1}{z} +\frac{1}{t}. \end {cases} }\)

35. Zbadać czy istnieje odwzorowanie surjektywne \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f( f(x) ) = (x-1)f(x)+ 2}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
Zhautykov Olympiad

36. Udowodnić, że w dowolnym rosnącym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych istnieje nieskończona ilość wyrazów, które mają te same dzielniki pierwsze.
37. Udowodnić, że z układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-3xy+ 2y^2+x-y=0 \\ x^2 -2xy+y^2-5x+7y=0 \end {cases}}\)
wynika, że \(\displaystyle{ xy - 12x+15y=0 }\).
Eötvös 1896 r.
38. Na okręgu rozmieszczono równomiernie \(\displaystyle{ 2n}\) punktów, i dowolne \(\displaystyle{ n}\) z nich pomalowane są na niebiesko, a pozostałe na czerwono. Tworzymy listę odległości między dowolnymi dwoma punktami niebieskimi (w kolejności niemalejącej) i analogicznie listę odległości między dowolnymi dwoma puntami czerwonymi (w kolejności niemalejącej). Udowodnić, że te listy są takie same.
39. Ile jest możliwych rozdań kart w brydżu ?
40. W którym wierszu trójkąta Pascala są trzy kolejne elementy w stosunku \(\displaystyle{ 3:4:5}\) ?
41. W bliżej nieokreślonym kraju rządy ma dyktatura tzw. Lewicowa Grupa Bezbożnych Teologów o skrajnie faszystowskich i mizoginistycznych poglądach; wprowadziła ona zakaz rodzenia kobietom, które urodziły już dziecko płci żeńskiej; ale mogą wciąż mieć dowolnie dużo dzieci płci męskiej; Założyć przybliżoną pierwotnie równą liczbę mężczyzn i kobiet i założyć też , że prawdopodobieństwa urodzenia chłopca i dziewczynki są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i oszacować szansę przeżycia \(\displaystyle{ n}\)-tej generacji.
Ostatnio zmieniony 29 mar 2021, o 17:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: Jan Kraszewski »

9.
Ukryta treść:    
Ale uważam, że polecenie powinno brzmieć: Dla każdego wyrazu znajdź regułę, zgodnie z którą nie pasuje on do pozostałych. :)

JK
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: Premislav »

14.:    
26.:    
33.:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: a4karo »

20:    
33:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: Premislav »

5.:    
37.:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: a4karo »

26 trochę inaczej:    
Dodano po 6 minutach 25 sekundach:
29 - coś tam nie gra:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: kerajs »

25:    
27:    
39:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: Premislav »

6.:    
12.:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: mol_ksiazkowy »

29 cd
Ukryta treść:    
Dodano po 9 minutach 10 sekundach:
9 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: kerajs »

Mam kilka pytań:
ad 2. Czym jest układ harmoniczny?
ad 11. Czy to pełna treść zadania?
ad 20. jw.
ad 23. Moim zdaniem w tej klice jest 264 cyki Eulera. Łańcuchów (które moim zdaniem mają wyróżniony początek i kierunek ) jest ponad rząd więcej. Pomyłka jest w treści czy w definicji łańcucha?
ad 31. Wstawienie kilku wyrazów pokazuje błędność podanego tam wzoru. Czy nie powinno być \(\displaystyle{ { \frac{1}{2} \choose n}= \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^nn!} }\) ?
ad 32. Czy nie cofanie oznacza poruszanie się mrówki tylko najkrótszymi drogami ?
ad 41. Jak się domyślam k-ta generacja to k-te pokolenie kobiet (z których wszystkie rodzą dzieci). Czym jest ''przeżycie n-tej generacji'' ?
17:    
21:    
33.3:    
40:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: mol_ksiazkowy »

11. tak mam w zeszycie :)
23. łańcuch to marszruta (trasa), w której wszystkie krawędzie są różne. Jeśli wszystkie wierzchołki są też różne, to taki łańcuch jest drogą. Droga zamknięta to cykl.
32. raczej nie...

:arrow: cdn :?:
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: a4karo »

11:    
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: Elayne »

Ad 19.
Ukryta treść:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: a4karo »

29:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Groch z kapustą

Post autor: kerajs »

Wczoraj zrobiłem sobie primaaprilisowego psikusa kopiując tylko fragment zadania pierwszego jako:
'' 2 . Ile co najwyżej harmonicznych układów jest wśród \(\displaystyle{ 100}\) różnych punktów na płaszczyźnie ?''
I stąd moja dziwaczna wątpliwość. Przepraszam.

Re: Sugestia a4caro do 11.
Możliwe, iż o to chodziło w tym zadaniu, jednak trudno tak interpretować jego pierwotną treść. M.in. dlatego, że usunięta wiertłem objętość nie jest walcem.

Re: zadanie 19
Przykładów w których suma cyfr liczby 3n wynosi 300 wypisałem kilka. Moim problemem jest to, jak wykazać, iż ta suma nie może przyjmować innych wartości.
22:    
ODPOWIEDZ