Liczby naturalne

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Karolo2337
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 mar 2021, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy

Liczby naturalne

Post autor: Karolo2337 » 27 mar 2021, o 15:38

Liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) spełniają równość
\(\displaystyle{ \text{NWW}\,(a, b) + \text{NWD}\,(a, b) = a + b}\).
Udowodnić że jedna z liczb \(\displaystyle{ a, b}\) dzieli drugą.
Ostatnio zmieniony 27 mar 2021, o 15:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3354
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1158 razy

Re: Liczby naturalne

Post autor: Janusz Tracz » 27 mar 2021, o 16:07

Bez straty ogólności można napisać, że:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \text{NWW}\,(a, b) + \text{NWD}\,(a, b) = a + b \\ \text{NWW}\,(a, b) \cdot \text{NWD}\,(a, b) = a \cdot b\end{cases} }\)

Bo to drugie równanie to znany fakt (jak bardzo będzie trzeba to chyba nawet go udowodnię). Z tego (chyba sprawdź) wynika, że: \(\displaystyle{ \left\langle \text{NWW}\,(a, b) , \text{NWD}\,(a, b)\right\rangle =\left\langle a,b\right\rangle }\) lub symetrycznie \(\displaystyle{ \left\langle \text{NWW}\,(a, b) , \text{NWD}\,(a, b)\right\rangle =\left\langle b,a\right\rangle }\). A z tego już mamy tezę.

ODPOWIEDZ