Rozstrzygnięcie

[Karolo2337]

Mamy \(\displaystyle{ n + 1}\) równych liczb całkowitych dodatnich mniejszych od \(\displaystyle{ 2n}\), przy czym \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Rozstrzygnąć, czy można wybrać z nich takie trzy, aby jedna była równa sumie dwóch pozostałych.

[kerajs]

To trywialne. Skoro wszystkie są równe i dodatnie to suma dwóch takich liczb jest dwa razy większa (i różna) od tej liczby.

[Premislav]

Myślę, że nikt by nie dawał takiego trywialnego zadania i miało być „różnych liczb całkowitych". Wtedy jest trochę ciekawiej, ale tez jak najbardziej do zrobienia na luzie.
Przypuśćmy nie wprost, że się nie da. Jeśli największą liczbą jest \(\displaystyle{ 2a}\), to dla każdego \(\displaystyle{ i\in\left\{1, \ldots a-1\right\}}\) odpada co najmniej jedna z liczb
\(\displaystyle{ a-i, a+i}\) (bo liczby z takiej pary sumują się do \(\displaystyle{ 2a}\)), łącznie co najmniej \(\displaystyle{ a-1}\) liczb całkowitych dodatnich mniejszych niż \(\displaystyle{ 2n}\) nie wystąpi w naszym zbiorze. Ponadto nie wystąpią żadne liczby większe od \(\displaystyle{ 2a}\), a mniejsze od \(\displaystyle{ 2n}\), a tych jest \(\displaystyle{ 2n-1-2a}\). Łącznie wykluczyliśmy \(\displaystyle{ 2n-a-2}\) liczb i problem w tym, że mamy wybranych \(\displaystyle{ n+1}\) liczb, a z drugiej strony
\(\displaystyle{ 2n-1-(2n-a-2)<n+1}\), bo to się redukuje do \(\displaystyle{ a<n}\), co oczywiste. Zatem otrzymaliśmy sprzeczność.

To jest niepotrzebnie skomplikowane (teraz widzę, że w zasadzie można ominąć dowód nie wprost), bo nie mam wyobraźni matematycznej, pewnie można uprościć. No a dla największej liczby \(\displaystyle{ 2a+1}\) właściwie analogicznie leci, tylko robimy pary \(\displaystyle{ (i, 2a-i+1), \ i\in\left\{1, 2\ldots a\right\}}\).

[kerajs]

Myślę, że nikt by nie dawał takiego trywialnego zadania i miało być „różnych liczb całkowitych".

Też tak przypuszczałem. Myślałem, że moja odpowiedź skłoni Karolo2337 do zmiany treści zadania, ale się pomyliłem. Może właśnie miało być ''równe''?

Nie przepadam za poprawianiem treści zadań przez nas, ''odpowiadaczy''. Uważam, że to rolą autora jest przedstawić sensowną treść, zamiast usensawniania jej przez rozwiązujących. Widocznie częścią współczesnej edukacji jest umiejętność domyślania się ''o co mogło chodzić autorowi zadania''.
To nie zarzut wobec Ciebie, Przemku, lecz wyjaśnienie dlaczego nie rozwiązywałem trudniejszej wersji.