[MIX] Mix matematyczny 43
: 18 gru 2020, o 20:06
1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a^2-bc}\) jest kwadratem liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ 2a+b+c}\) nie jest liczbą pierwszą.
2. Wskazać funkcję \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) taką, że \(\displaystyle{ f(f (x)) = x^2+2x+6 }\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
3. Wisienką w grafie nazywa się dwa wierzchołki o stopniu 1 i o wspólnym sąsiedzie. Udowodnić, że w grafie spójnym, który nie ma wisienki można usunąć dwa sąsiednie wierzchołki, tak aby wciąż był on spójny.
4. Niech \(\displaystyle{ ! n ! }\) będzie iloczynem \(\displaystyle{ n }\) kolejnych liczb jedynkowych (np. \(\displaystyle{ ! 3 ! = 1 \cdot 11 \cdot 111 }\)). Udowodnić, że \(\displaystyle{ ! (n+m) ! }\) dzieli się przez iloczyn liczb \(\displaystyle{ ! n! }\) i \(\displaystyle{ !m! }\).
5. Czy szachownicę \(\displaystyle{ 10 \times 10 }\) można pokryć \(\displaystyle{ 25}\) kostkami, z których każda składa się z czterech kwadratów jednostkowych i ma kształt litery L ?
6. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^3 = \{ (x+1)^3 \} }\) .
7. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ …+ \frac{1}{n}= \frac{a_n}{b_n} }\) (ułamek nieskracalny), to \(\displaystyle{ b_{n+1} < b_n}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).
8. Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_1 = 1 \\ a_{n+1}= \frac{1+4a_n + \sqrt{1+24a_n}}{16} }\).
9. Udowodnić, że na \(\displaystyle{ 19}\) polowej sześciokątnej szachownicy (jak w grze hex) o boku opartym na trzech sześciokątach może wielbłąd z pola środkowego przeskoczyć po wszystkich polach, na każdym będąc tylko raz.
10. W kwadracie o boku długości \(\displaystyle{ 1}\) zawarte są okręgi takie, że suma ich długości jest równa \(\displaystyle{ 10}\). Wykazać, że istnieje prosta przecinająca co najmniej cztery z tych okręgów.
2. Wskazać funkcję \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) taką, że \(\displaystyle{ f(f (x)) = x^2+2x+6 }\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
3. Wisienką w grafie nazywa się dwa wierzchołki o stopniu 1 i o wspólnym sąsiedzie. Udowodnić, że w grafie spójnym, który nie ma wisienki można usunąć dwa sąsiednie wierzchołki, tak aby wciąż był on spójny.
4. Niech \(\displaystyle{ ! n ! }\) będzie iloczynem \(\displaystyle{ n }\) kolejnych liczb jedynkowych (np. \(\displaystyle{ ! 3 ! = 1 \cdot 11 \cdot 111 }\)). Udowodnić, że \(\displaystyle{ ! (n+m) ! }\) dzieli się przez iloczyn liczb \(\displaystyle{ ! n! }\) i \(\displaystyle{ !m! }\).
5. Czy szachownicę \(\displaystyle{ 10 \times 10 }\) można pokryć \(\displaystyle{ 25}\) kostkami, z których każda składa się z czterech kwadratów jednostkowych i ma kształt litery L ?
6. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^3 = \{ (x+1)^3 \} }\) .
7. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ …+ \frac{1}{n}= \frac{a_n}{b_n} }\) (ułamek nieskracalny), to \(\displaystyle{ b_{n+1} < b_n}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).
8. Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_1 = 1 \\ a_{n+1}= \frac{1+4a_n + \sqrt{1+24a_n}}{16} }\).
9. Udowodnić, że na \(\displaystyle{ 19}\) polowej sześciokątnej szachownicy (jak w grze hex) o boku opartym na trzech sześciokątach może wielbłąd z pola środkowego przeskoczyć po wszystkich polach, na każdym będąc tylko raz.
10. W kwadracie o boku długości \(\displaystyle{ 1}\) zawarte są okręgi takie, że suma ich długości jest równa \(\displaystyle{ 10}\). Wykazać, że istnieje prosta przecinająca co najmniej cztery z tych okręgów.
Nierozwiązane są 1, 3, 4, 7, 8 + (?) 9.