[MIX] zadań z olimpiad węgierskich

[mol_ksiazkowy]

1. Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ x^4 + 2x^2+2x+2 }\) nie jest iloczynem trójmianów o współczynnikach całkowitych.
2. W przestrzeni dane są punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\). Zbudować płaszczyznę taką, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) są po jednej stronie tej płaszczyzny, \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) są po jej drugiej stronie; zaś odległości tych punktów od płaszczyzny są jednakowe.
3. W turnieju każdy gra z każdym i nie ma remisów. Udowodnić, że wśród graczy jest taki, który wymieni wszystkich zawodników, gdy poda wszystkich pokonanych przez siebie oraz zawodników pokonanych przez wymienionych uprzednio.
4. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left( \frac{\sin(x)}{x}\right) ^3 > \cos(x)}\) gdy \(\displaystyle{ 0< x < \frac{\pi}{2} }\).
5. Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f: (0, +\infty) \to (0, +\infty) }\), t. że \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{f(xy)}\right) = f(x)f(y) }\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR. }\)
KöMaL
6. W zbiorze 15-elementowym wyznaczyć 15 jego podbiorów 7-elementowych, takich, że część wspólna dowolnych dwóch z nich jest zbiorem trzyelementowym.
KöMaL
7. W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) jest \(\displaystyle{ AB+ BD \leq AC + CD}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AB < AC. }\)
8. Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ S(n,k) = n+ (n+1)+...+ (n+k-1) }\) jest kwadratem liczby całkowitej.
9. Rozwiązać uklad
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+z) = 8-x^2 \\ y(x+z)= 12-y^2 \\ z(x+y) = -4-z^2. \end{cases} }\)
10. Wewnątrz okręgu są punkty i \(\displaystyle{ P }\) i \(\displaystyle{ Q }\). Zbudować trójkąt prostokątny wpisany w ten okrąg i taki że te punkty są na jego przyprostokątnych (po jednym na każdej z nich). Kiedy taka konstrukcja nie jest możliwa ?
11. Siedmiu krasnali strzeże skarbu, który jest ukryty w piwnicy. Jest 12 drzwi a każde zamykane jest przez 12 zamków (tj. łącznie 144 różnych kluczy do skarbca). Krasnale mają niektóre z kluczy i dowolnych trzech krasnali może otworzyć wszystkie drzwi. Ile co najmniej kluczy mają krasnale ?
12. Udowodnić, że wśród 111 wektorów na płaszczyźnie o zerowej sumie istnieje 55 takich, których suma jest wektorem o długości nie większej niż \(\displaystyle{ 1. }\)
13. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \lfloor x \rfloor } + \frac{1}{ \{ x \} } = x. }\)
KöMaL
14. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ y^3x+1 <x+y^3}\) to \(\displaystyle{ x^3y+1 <y+x^3.}\)
KöMaL
15. Udowodnić,że gdy \(\displaystyle{ n }\) jest liczbą naturalną, to \(\displaystyle{ f(x) = \cos(x) + \cos(x \sqrt{n^2+1}) }\) nie jest okresowa.
16. Wyznaczyć maksimum objętości czworościanu, którego środki krawędzi są współsferyczne.
17. Udowodnić, że jeśli każdy przekrój bryły jest kołem, to ta bryła jest kulą.
18. Sześciokąt \(\displaystyle{ ABCDEF }\) jest wpisany w okrąg. Boki \(\displaystyle{ AB, CD, EF}\) są równe promieniowi okręgu. Udowodnić że środki pozostałych trzech boków są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
19. Rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{(x^2-y^2)^{ \frac{y}{x}} +1}{(x^2-y^2)^{ \frac{y}{x}} - 1}. }\)
KöMaL
20. Udowodnić że jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-3xy+2y^2+x-y= 0 \\ x^2-2xy+y^2-5x+7y=0 \end{cases} }\)
to \(\displaystyle{ xy - 12x+ 15y =0. }\)
Eötvös-Kürschák
21. Udowodnić, że zbiór skończony może mieć co najwyżej tylko jeden środek symetrii.
22. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n }\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ 46^n + 296 \cdot 13^n }\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 1947. }\)
23. Wyznaczyć \(\displaystyle{ a, b }\) jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a+b+2}{4}= \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} \\ ab=1. \end{cases} }\)
KöMaL
24. Czy istnieje \(\displaystyle{ f: \QQ \to \{ -1, 1 \} }\) taka, że \(\displaystyle{ f(x) = - f(y)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq y }\) i gdy \(\displaystyle{ xy=1 }\) lub \(\displaystyle{ x+y \in \{ 0, 1 \} }\) ?
KöMaL
25. Z Iloma co najwyżej polami szachownicy \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) może niepustą część wspólną prosta ?
Eötvös-Kürschák

Ukryta treść:    

Kod: Zaznacz cały

http://www.batmath.it/matematica/raccolte_es/ek_competitions/ek_competitions.pdf

[a4karo]

Mój ulubiony motyw

4:    

Funkcja \(\displaystyle{ \sin x \cos^{-1/3} x}\) jest wypukła (to się sprawdza bezpośrednim rachunkiem), więc jej iloraz różnicowy \(\displaystyle{ \frac{\sin x \cos^{-1/3} x}{x}}\) jest rosnący i rosnący i jego trzecia potęga też. A ponieważ granica w zerze tegoż ilorazu jest jedynką, to już koniec dowodu

Dodano po 28 minutach 19 sekundach:

21:    

Pokażemy więcej: żaden zbiór ograniczony nie może mieć dwóch różnych środków symetrii
Przypuśćmy, że `X` jest zbiorem ograniczonym, a `A\ne B` sa środkami symetrii

Weżmy dwie hiperpłaszczyzny `h` i `g`, które sa prostopadłe do odcinka `AB` i ograniczaja `X` z obu stron (t.j. `dist (h,X)=dist(g,X)=0`}.

Złożenie `S_A\circ S_B` z jednej strony przekształca `X` w `X`, a z drugiej strony jest translacją o wektor `2AB`, więc obraz `X` wyjdzie poza którąś z hiperpłaszczyzn.
Sprzeczność

Dodano po 1 minucie 45 sekundach:
Ad 25: z iloma polami ma część wspólną prosta przechodząca przez wierzchołek pola?

Dodano po 10 minutach 2 sekundach:

14:    

Wyrażenie `y^3x-x+1-y^3=(x-1)(y-1)(y^2+y+1)` ma ten sam znak co wyrażenie `x^3y-y+1-x^3=(x-1)(y-1)(x^2+x+1)`. Koniec.

Dodano po 8 minutach 20 sekundach:

13:    

Oczywiście `x\ne 0`.

PO sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy
\(\displaystyle{ \frac{[x]+\{x\}}{[x]\{x\}}=[x]+\{x\}}\), skąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{[x]\{x\}}=1}\)

Stąd zbiorem rozwiązań jest `\{n+\frac{1}{n}, n\ge 2\}`

[Premislav]

23.:    

\(\displaystyle{ \frac{a+b+2}{4}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\\\frac{a+\frac{1}{a}+2}{4}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{\frac{1}{a}+1}\\\frac{a+\frac{1}{a}+2}{4}=\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}\\\frac{a+\frac{1}{a}+2}{4}=1\\a+\frac{1}{a}=2}\)
Stąd oczywiście \(\displaystyle{ a>0}\), a dalej mamy \(\displaystyle{ \left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=1}\).

[a4karo]

1:    

Jeżeli taki rozkład istnieje, to musi mieć postać `(x^2+ax\pm 1)(x^2+b\pm 2)`, przy czym znaki przy wyrazie wolnym muszą być takie same
Porównajmy współczynniki przy drugiej i pierwszej potędze:
\(\displaystyle{ (*) \pm1\pm 2+ab=2\\
(**) \pm2a\pm b=2}\)

Z (**) wynika, że `b` musi być parzyste, a wtedy z (*) wnioskujemy, że `\pm 3` jest parzyste.

[Premislav]

22.:    

Indukcja po \(\displaystyle{ n}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawda, ponieważ
\(\displaystyle{ 46+296\cdot 13=2\cdot 1947}\)
Wykażemy teraz, że jeśli podzielność zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\), to dla \(\displaystyle{ n+2}\) także. Mamy
\(\displaystyle{ 46^{n+2}+296\cdot 13^{n+2} =46^{2}\cdot 46^{n}+296\cdot 13^{n+2}\\=46^{2}\left(46^{n}+296\cdot 13^{n}\right)-46^{2}\cdot 296\cdot 13^{n}+296\cdot 13^{n+2}\\=46^{2}\left(46^{n}+296\cdot 13^{n}\right)-296\cdot 13^{n}\left(46^{2}-13^{2}\right)\\=46^{2}\red{\left(46^{n}+296\cdot 13^{n}\right)}-296\cdot 13^{n}\red{\left(33\cdot 69\right)}}\)
Pozostaje odnotować, że \(\displaystyle{ 33\cdot 69=1947}\) i suma liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 1947}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 1947}\).

[a4karo]

9:    

Dodajemy stronami otrzymując
`(x+y+z)^2=16`, czyli `x+y+z=\pm 4`. Wyznaczamy stąd `y+z, y+x, z+x`, wstawiamy do kolejnych równań i dostajemy wynik.

[Premislav]

15.:    

Zakładam, że naturalne to całkowite dodatnie, inaczej teza jest fałszywa, bo \(\displaystyle{ n=0}\) zadaje jej kłam. Znany fakt: pochodna różniczkowalnej funkcji okresowej jest funkcją okresową i ma ten sam okres, dowód prosty (wystarczy rozpisać iloraz różnicowy), można znaleźć na stacku, bo nie chce mi się pisać. Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \cos(x)+\cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\) jest okresowa dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\). Wówczas okresowa jest też \(\displaystyle{ -\sin(x)-\sqrt{n^{2}+1}\sin\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\) i to z tym samym okresem. Ponawiając to rozumowanie z pochodną funkcji okresowej dla drugiej pochodnej (jako pochodnej pierwszej pochodnej), dostajemy, że \(\displaystyle{ -\cos (x)-\left(n^{2}+1\right)\cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\) jest okresowa i ma ten sam okres, co \(\displaystyle{ \cos x+\cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\)Zatem suma tych dwóch ostatnich funkcji ma ten sam okres, co \(\displaystyle{ \cos x+\cos \left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\), ale ta suma wynosi \(\displaystyle{ \left(1-\left(n^{2}+1\right)\right)\cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\), a pomnożenie przez niezerową stałą nie zmienia okresu funkcji, czyli jest to też wspólny okres funkcji \(\displaystyle{ \cos(x)+\cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\) i \(\displaystyle{ \cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\).
Jednak wobec tego ten sam okres, co dwie ostatnio wspomniane funkcje ma też \(\displaystyle{ \cos x=\left(\cos (x)+\cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)\right)-\cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\). Czyli \(\displaystyle{ \cos x}\) i \(\displaystyle{ \cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\) mają ten sam okres, co jest wykluczone, ponieważ wszystkie okresy \(\displaystyle{ \cos(x)}\) są wymiernymi (a nawet całkowitymi) krotnościami \(\displaystyle{ 2\pi}\), a ponieważ liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}+1}}\) jest niewymierna, to okresy \(\displaystyle{ \cos\left(\sqrt{n^{2}+1}x\right)}\) nie mogą być wymiernymi krotnościami \(\displaystyle{ 2\pi}\). Otrzymana sprzecznosć kończy dowód.

[Elayne]

Ukryta treść:    

Pozostaje odnotować, że \(\displaystyle{ 33\cdot 69=1947}\)

!?

[Premislav]

No dobra, pomyliłem się w rachunkach, przepraszam. Co to w ogóle za liczby w tym zadaniu, większych nie było?
Powinno być \(\displaystyle{ 33\cdot 59=1947}\) i wtedy wszystko się zgadza, wszak \(\displaystyle{ 46^{2}-13^{2}=(46+13)(46-13)}\).

Dodano po 27 minutach 50 sekundach:

20.:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-3xy+2y^2+x-y= 0 \\ x^2-2xy+y^2-5x+7y=0 \end{cases} }\)
Mamy \(\displaystyle{ x^{2}-3xy+2y^{2}+x-y=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(1-y)(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x+1-2y)=0}\)
a zatem \(\displaystyle{ x=y\vee x=2y-1}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ -5x+7y=0}\), a zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=y\\-5x+7y=0\end{cases}}\),
czyli \(\displaystyle{ x=y=0}\) i wtedy oczywiście istotnie jest \(\displaystyle{ xy-12x+15y=0}\).
Natomiast jeśli \(\displaystyle{ x=2y-1}\), to z drugiego równania mamy
\(\displaystyle{ (y-1)^{2}-3y+5=0\\ y^{2}-5y+6=0\\(y-2)(y-3)=0}\), co daje nam przypadki
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=2\\x=2y-1\end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=3\\x=2y-1\end{cases}}\), czyli odpowiednio \(\displaystyle{ x=3, \ y=2}\) oraz \(\displaystyle{ x=5, \ y=3}\).
Nietrudno sprawdzić, że w obydwu przypadkach zachodzi również \(\displaystyle{ xy-12x+15y=0}\), c.n.d.

[mol_ksiazkowy]

Ukryta treść:    

prosta może byc dowolna

8

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ k=2n-1}\)

[timon92]

15:    

nietrudno przekonać się, że równanie \(f(x)=2\) ma tylko jedno rozwiązanie (mianowicie \(0\)) więc \(f\) nie może być okresowa (w przeciwnym razie równanie \(f(x)=2\) miałoby więcej rozwiązań)

w zadaniu 21 brakuje założenia niepustości zbioru

[kerajs]

ad 12
Przypuszczam, iż treść zadania jest niepełna, skoro łatwo o kontrprzykład. Np: wektory \(\displaystyle{ \left[ 0,100n\right] , \ \left[ 0.-100n\right] \ , \ [-10, 0] \ , \ [5,-5] \ , \ [5,5]}\) dla \(\displaystyle{ n \in \left\{ 1,2,3,..., 54\right\} }\)

2:    

Zadanie sprowadza się do konstrukcji (lub wyliczenia równania jeśli znane są współrzędne punktów) płaszczyzny równoodległej od prostej AC i BD. Warunkiem koniecznym jest nieprzecinanie się tych prostych.
Teoretyczna konstrukcja: Biorę dowolną płaszczyznę prostopadłe do prostej AC i dowolną płaszczyznę prostopadłe do prostej BD uzyskując z ich przecięcia prostą prostopadłą do szukanej płaszczyzny. Przesuwam tę prostą tak aby przecinała prostą AC (punkt przecięcia nazywam P) i prostą BD (punkt przecięcia nazywam Q). Szukana płaszczyzna przechodzi przez środek odcinka PQ. Przypadek szczególny skośności, czyli równoległość prostych AC i BD upraszcza konstrukcję.
Szukanie równania płaszczyzny gdy znane są współrzędne punktów A, B, C, D jest klasycznym zadaniem trójwymiarowej geometrii analitycznej, więc nie warto tego opisywać.

[mol_ksiazkowy]

12 cd

Ukryta treść:    

To są wektory jednostkowe

[Premislav]

19.:    

Oczywiście nie może być \(\displaystyle{ x=y}\).
1) Jeśli \(\displaystyle{ x<y}\), to musi być \(\displaystyle{ 2\nmid x}\) (dziedzina RHS równości), a ponadto jest wtedy \(\displaystyle{ \frac{x}{y}<1}\), więc by zaszła równość
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{y}{x}}+1}{\left(x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{y}{x}}-1}}\),
musi być \(\displaystyle{ 2\nmid y}\) (w przeciwnym razie po LHS mamy liczbę mniejszą od jedynki, a po RHS liczbę większą od jedynki).
Przekształcamy równość do równoważnych postaci
\(\displaystyle{ \left(x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{y}{x}}(x-y)=x+y\\\left(x^{2}-y^{2}\right)^{y}(x-y)^{x}=(x+y)^{x}\\(x-y)^{x+y}=(x+y)^{x-y}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 2\nmid x, \ 2\nmid y}\), więc \(\displaystyle{ 2|(x+y)}\) i \(\displaystyle{ (x-y)^{x+y}\ge 1}\), tymczasem \(\displaystyle{ x+y>1, \ x-y<0}\), a zatem \(\displaystyle{ (x+y)^{x-y}<1}\), co prowadzi do sprzeczności.

2) Jeśli \(\displaystyle{ x>y}\), to sprowadzamy do tej samej postaci \(\displaystyle{ (x-y)^{x+y}=(x+y)^{x-y}}\) i logarytmujemy stronami, co po prostych przekształceniach daje nam
\(\displaystyle{ \frac{\ln(x-y)}{x-y}=\frac{\ln(x+y)}{x+y}}\). Jednak funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\frac{\ln(t)}{t}}\) spełnia \(\displaystyle{ f'(t)=\frac{1-\ln(t)}{t^{2}}}\), a zatem jest malejąca dla \(\displaystyle{ t>e}\), czyli jeśli \(\displaystyle{ x,y\in \NN^{+}, x-y\ge 3}\), to zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{\ln(x-y)}{x-y}>\frac{\ln(x+y)}{x+y}}\). Pozostaje zatem sprawdzić przypadki \(\displaystyle{ x-y=1, \ x-y=2}\). W pierwszym z tych przypadków otrzymujemy z równości \(\displaystyle{ (x-y)^{x+y}=(x+y)^{x-y}, \ x+y=1}\), ale nie istnieją liczby całkowite dodatnie jednocześnie o sumie i różnicy równej \(\displaystyle{ 1}\). Natomiast w przypadku \(\displaystyle{ x-y=2}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ x+y=2\vee x+y=4}\) (bowiem elementarna analiza dowodzi, że gdy \(\displaystyle{ t>4}\), to \(\displaystyle{ 2^{t}>t^{2}}\)). Pierwsza możliwość prowadzi do sprzeczności, zaś w tym ostatnim przypadku z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-y=2\\x+y=4\end{cases}}\)
wyznaczamy bez trudu \(\displaystyle{ (x,y)=(3,1)}\) i to jest ostateczne rozwiązanie zadania.

Dodano po 8 minutach 20 sekundach:

1. inaczej:    

Jest to natychmiastowy wniosek z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Eisensteina

[kerajs]

7:    

Niech punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) będą ogniskami dwóch elips na których będą leżały punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Niewątpliwie elipsa na której leży punkt \(\displaystyle{ B}\) jest położona wewnątrz elipsy z punktem \(\displaystyle{ C}\) lub te elipsy się pokrywają. Dodaję okrąg o środku w \(\displaystyle{ A}\) i promieniu \(\displaystyle{ AB}\). Niezależnie od początkowego położenia punktu \(\displaystyle{ B}\), ramiona kąta \(\displaystyle{ BAD}\) dzielą niemniejszą elipsę (i okrąg) na dwa łuki. Aby czworokąt był wypukły to punkt \(\displaystyle{ C}\) musi znajdować się na krótszym z nich. Ponieważ krótszy łuk okręgu leży wewnątrz obszaru ograniczonego odcinkami \(\displaystyle{ BA, AB}\) i krótszym łukiem elipsy z punktem \(\displaystyle{ C}\), to teza jest prawdziwa.

10:    

Okrąg o średnicy \(\displaystyle{ PQ}\) musi przecinać lub stykać się z danym okręgiem. Punkty przecięcia (lub styczności) to wierzchołki kąta prostego szukanych trójkątów.

11:    

Aby dowolnych trzech krasnali (z możliwych 7) otwarło jeden zamek potrzebnych jest 5 kluczy. Stąd minimalna ilość kluczy wynosi \(\displaystyle{ 5 \cdot 144=720}\).