[Nierówności] Ciągi jednomonotoniczne

[Manteufel]

Czy ktoś mógłby pokazać, w jaki sposób za pomocą twierdzeń o ciągach jednomonotoniczych udowodnić, że zachodzi poniższa nierówność, bo sam nie mam pomysłu?

Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich a,b,c zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{ a^{3} }{ b^{2} }+ \frac{ b^{3} }{ c^{2} } + \frac{ c^{3} }{ a^{2} } \ge \frac{ a^{2} }{ b} + \frac{ b^{2} }{c} + \frac{ c^{2} }{a} }\)

[Premislav]

Z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych (można bowiem bez straty ogólności założyć, że \(\displaystyle{ x\ge y}\)) mamy w dodatnich
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}\ge x^{2}y+xy^{2}}\)
(wówczas bowiem także \(\displaystyle{ x^{2}\ge y^{2}}\)). Podzielmy tę nierówność stronami przez \(\displaystyle{ y^{2}}\), a dostaniemy
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{y^{2}}+y\ge \frac{x^{2}}{y}+x}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{y^{2}}\ge \frac{x^{2}}{y}+x-y \ (*)}\)

Pomyśl, jak zastosować nierówność \(\displaystyle{ (*)}\), by udowodnić tezę zadania.
Bezpośrednio raczej niełatwo zastosować tw. o ciągach jednomonotonicznych, a to dlatego, że nierówność z tezy nie jest symetryczna.