Tożsamość z książki

[Kartezjusz]

Jak dowieść , że .
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{p} \sum_{k=1}^{n} k \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^k = \frac{p(p+1)(p+2)}{3}}\)

[Tmkk]

Możesz wyznaczyć sobie wzór na coś takiego:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n kx^k = \frac{x(nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1)}{(x-1)^2}}\).

To jest dość znane, można to na przykład zrobić sumując odpowiednie sumy ciągu geometrycznego. Wstawiając \(\displaystyle{ x = \left(1+\frac{1}{n}\right)}\) dostajemy, że

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k\left(1+\frac{1}{n}\right)^k = n(n+1)}\),

a stąd już łatwo dostać ostateczny wynik, na przykład ze wzorów na \(\displaystyle{ \sum n}\) i \(\displaystyle{ \sum n^2}\).

[Janusz Tracz]

Można też indukcyjnie po \(\displaystyle{ p}\). Krok indukcyjny wygląda następująco:

\(\displaystyle{
\eqalign{
\sum_{n=1}^{p+1} \sum_{k=1}^{n} k \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^k &= \sum_{n=1}^{p} \sum_{k=1}^{n} k \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^k+ \sum_{k=1}^{p+1} k \left( 1+ \frac{1}{p+1} \right)^k= \cr &=

\frac{p(p+1)(p+2)}{3}+ \left( 1+ \frac{1}{p+1} \right) \frac{\dd}{\dd x} \left( \sum_{k=1}^{p+1} x^k\right) \Bigg|_{x=1+ \frac{1}{p+1} }= \cr &=

\frac{p(p+1)(p+2)}{3}+ \left( 1+ \frac{1}{p+1} \right) \frac{\dd}{\dd x} \left( \frac{x^{p+2}-x}{x-1} \right) \Bigg|_{x=1+ \frac{1}{p+1} }= \cr &=

\frac{p(p+1)(p+2)}{3}+ \left( 1+ \frac{1}{p+1} \right)\left( p+1\right)^2= \cr &=

\frac{p(p+1)(p+2)}{3}+ \left( p+1 \right)\left( p+2\right)= \cr &=

\left( p+1 \right)\left( p+2\right) \cdot \left[ \frac{p}{3}+1 \right] = \cr &=

\frac{(p+1)(p+2)(p+3)}{3}

}}\)