[Równania funkcyjne] Zadanie z KMDO

[Kmil]

Mógłby ktoś sprawdzić, czy moje rozwiązanie poniższego zadania jest poprawne?

Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \NN }\) spełniające warunki:
(a) \(\displaystyle{ f(2)=2 }\),
(b) \(\displaystyle{ f(m)>f(n)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ m,n\in\NN, m>n }\),
(c) \(\displaystyle{ f(mn)=f(m)f(n) }\) dla wszystkich \(\displaystyle{ m,n\in\NN }\).

Rozwiązanie:
Udowodnię za pomocą indukcji zupełnej, że \(\displaystyle{ f(n)=n }\).

\(\displaystyle{ (i)}\) Podstawiając do warunku (c) \(\displaystyle{ m=1}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ f(n)=f(n)f(1) \Rightarrow f(1)=1 }\), ponadto (a) \(\displaystyle{ f(2)=2}\).
\(\displaystyle{ (ii)}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ f(1)=1, f(2)=2, ..., f(n)=n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
Rozważmy przypadek gdy \(\displaystyle{ 2\mid n}\),
\(\displaystyle{ 2\mid n \Rightarrow 2\mid n+2 }\). Mamy zatem \(\displaystyle{ \frac{n+2}{2} \in \NN }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{n+2}{2} \le n \Leftrightarrow 2 \le n }\), tym samym na podstawie założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ f( \frac{n+2}{2} )= \frac{n+2}{2}. }\)
Podstawiając teraz do warunku (c) \(\displaystyle{ n=2, m= \frac{n+2}{2} }\), otrzymujemy \(\displaystyle{ f(n+2)=f (\frac{n+2}{2})f(2)=n+2 }\).
Ponadto na podstawie założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ f(n)=n }\), zatem na podstawie warunku (b) \(\displaystyle{ n<n+1<n+2 \Rightarrow n=f(n)<f(n+1)<f(n+2)=n+2 \Rightarrow f(n+1)=n+1 }\).

Rozważmy teraz przypadek gdy \(\displaystyle{ 2\nmid n }\),
\(\displaystyle{ 2\nmid n \Rightarrow 2\mid n+1 }\). Mamy zatem \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2} \in \NN }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}<n \Leftrightarrow 1<n }\), więc na podstawie założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ f( \frac{n+1}{2} )= \frac{n+1}{2} }\).
Podstawiajać do warunku (c) \(\displaystyle{ n=2, m= \frac{n+1}{2} }\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(n+1)=f( \frac{n+1}{2} )f(2)=n+1 }\), co kończy dowód indukcyjny.
Funkcja \(\displaystyle{ f(n)=n }\) spełnia warunki zadania, zatem jest ona jedynym rozwiązaniem zadania.

[Premislav]

Zapewne liczby naturalne oznaczają tu całkowite dodatnie. Przy tym założeniu rozwiązanie jest w pełni poprawne.
Pozdrawiam, Lorak Ałytjow.