Proszę o sprawdzenie:
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR }\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) równanie:
\(\displaystyle{ f(x)f(y)-xy=f(x)+f(y)-1}\)
Moje rozwiązanie:
Podstawmy \(\displaystyle{ x=y=0}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ f^{2}(0)=2f(0)-1 }\), wówczas
\(\displaystyle{ [f(0)-1]^{2}=0}\), stąd
\(\displaystyle{ f(0)=1}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ x=y}\), mamy:
\(\displaystyle{ f^{2}(x)-x^{2}=2f(x)-1}\), co daje:
\(\displaystyle{ [f(x)-1]^{2}=x^{2}}\), stąd
\(\displaystyle{ f(x)=x+1 \vee f(x)=-x+1}\)
Wszystko w porządku? Wynik ten sam co w zbiorze ale rozwiązanie inne i wolę się upewnić.
[Równania funkcyjne]
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Administrator
- Posty: 34233
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: [Równania funkcyjne]
A to po co?
Należy jeszcze sprawdzić, że otrzymane funkcje istotnie spełniają daną zależność. Bo na razie otrzymałeś tylko warunek konieczny.
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: [Równania funkcyjne]
Tutaj występuje pewna subtelność: po podstawieniu w równaniu \(\displaystyle{ x=y}\) masz
\(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)[f(x)-1]^{2}=x^{2}}\), ale z tego tak po prostu nie wynika
\(\displaystyle{ [(\forall x\in \RR)f(x)-1=x]\vee[(\forall x\in \RR)f(x)-1=-x]}\)
Masz jedynie
\(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)[f(x)-1=x\vee f(x)-1=-x]}\)
Trzeba jeszcze wykluczyć możliwość, że te funkcje się „mieszają", tj. że dla jednych iksów zachodzi jedna z równości, a dla innych – druga.
\(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)[f(x)-1]^{2}=x^{2}}\), ale z tego tak po prostu nie wynika
\(\displaystyle{ [(\forall x\in \RR)f(x)-1=x]\vee[(\forall x\in \RR)f(x)-1=-x]}\)
Masz jedynie
\(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)[f(x)-1=x\vee f(x)-1=-x]}\)
Trzeba jeszcze wykluczyć możliwość, że te funkcje się „mieszają", tj. że dla jednych iksów zachodzi jedna z równości, a dla innych – druga.
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: [Równania funkcyjne]
I żeby nie wpaść w pułapkę, którą czujnie wskazał Premisłav proponuję takie coś:
Wstawiamy `x=y=1` i dostajemy `(f(1))^2=2f(1)`, co daje `f(1)=0` lub `f(1)=2`, i stąd
`-y=f(y)-1`, czyli `f(y)=1-y`
albo
`2f(y)-y=2+f(y)-1`, czyli `f(y)=1+x`
Prostym rachunkiem sprawdzamy, że obie funkcje są rozwiązaniami równania wyjściowego
Wstawiamy `x=y=1` i dostajemy `(f(1))^2=2f(1)`, co daje `f(1)=0` lub `f(1)=2`, i stąd
`-y=f(y)-1`, czyli `f(y)=1-y`
albo
`2f(y)-y=2+f(y)-1`, czyli `f(y)=1+x`
Prostym rachunkiem sprawdzamy, że obie funkcje są rozwiązaniami równania wyjściowego