[Równania funkcyjne]

[jakub___]

Proszę o sprawdzenie:
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR }\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) równanie:
\(\displaystyle{ f(x)f(y)-xy=f(x)+f(y)-1}\)

Moje rozwiązanie:

Podstawmy \(\displaystyle{ x=y=0}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ f^{2}(0)=2f(0)-1 }\), wówczas
\(\displaystyle{ [f(0)-1]^{2}=0}\), stąd
\(\displaystyle{ f(0)=1}\)

Podstawmy \(\displaystyle{ x=y}\), mamy:
\(\displaystyle{ f^{2}(x)-x^{2}=2f(x)-1}\), co daje:
\(\displaystyle{ [f(x)-1]^{2}=x^{2}}\), stąd
\(\displaystyle{ f(x)=x+1 \vee f(x)=-x+1}\)

Wszystko w porządku? Wynik ten sam co w zbiorze ale rozwiązanie inne i wolę się upewnić.

[Jan Kraszewski]

Podstawmy \(\displaystyle{ x=y=0}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ f^{2}(0)=2f(0)-1 }\), wówczas
\(\displaystyle{ [f(0)-1]^{2}=0}\), stąd
\(\displaystyle{ f(0)=1}\)

A to po co?

Podstawmy \(\displaystyle{ x=y}\), mamy:
\(\displaystyle{ f^{2}(x)-x^{2}=2f(x)-1}\), co daje:
\(\displaystyle{ [f(x)-1]^{2}=x^{2}}\), stąd
\(\displaystyle{ f(x)=x+1 \vee f(x)=-x+1}\)

Należy jeszcze sprawdzić, że otrzymane funkcje istotnie spełniają daną zależność. Bo na razie otrzymałeś tylko warunek konieczny.

JK

[Premislav]

Tutaj występuje pewna subtelność: po podstawieniu w równaniu \(\displaystyle{ x=y}\) masz
\(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)[f(x)-1]^{2}=x^{2}}\), ale z tego tak po prostu nie wynika
\(\displaystyle{ [(\forall x\in \RR)f(x)-1=x]\vee[(\forall x\in \RR)f(x)-1=-x]}\)
Masz jedynie
\(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)[f(x)-1=x\vee f(x)-1=-x]}\)
Trzeba jeszcze wykluczyć możliwość, że te funkcje się „mieszają", tj. że dla jednych iksów zachodzi jedna z równości, a dla innych – druga.

[a4karo]

I żeby nie wpaść w pułapkę, którą czujnie wskazał Premisłav proponuję takie coś:
Wstawiamy `x=y=1` i dostajemy `(f(1))^2=2f(1)`, co daje `f(1)=0` lub `f(1)=2`, i stąd
`-y=f(y)-1`, czyli `f(y)=1-y`
albo
`2f(y)-y=2+f(y)-1`, czyli `f(y)=1+x`

Prostym rachunkiem sprawdzamy, że obie funkcje są rozwiązaniami równania wyjściowego