nierównośći

[olgatiekalo]

hej wszystkim!
27. Czy podana nierówność jest spełniona dla dowolnych liczb dodatnich x, y
a) \(\displaystyle{ x^2 \cdot y^3 < x^4 + y^4}\);
b) \(\displaystyle{ x^2 \cdot y^3 < x^5 + y^5}\);
c) \(\displaystyle{ x^2 \cdot y^3 < x^7 + y^8}\);
d) \(\displaystyle{ x^2 \cdot y^3 < x + y}\)?
prawidłowa odpowiedź to b. dlaczego?
z góry dziękuję!

[Dasio11]

Wszystkie pozostałe odpowiedzi są niepoprawne, o czym świadczy podstawienie \(\displaystyle{ x=y}\). Ponieważ stopień lewej strony różni się od stopnia prawej, więc dla liczb bliskich zera większa będzie jedna strona, a dla dużych liczb - druga, zatem nierówność nie będzie zachodzić globalnie.

Poprawność odpowiedzi (b) można uzasadnić, powołując się na nierówność między średnimi:

\(\displaystyle{ x^5 + y^5 = \frac{1}{2} x^5 + \frac{1}{2} x^5 + \frac{1}{3} y^5 + \frac{1}{3} y^5 + \frac{1}{3} y^5 \ge 5 \sqrt[5]{ \frac{1}{2} x^5 \cdot \frac{1}{2} x^5 \cdot \frac{1}{3} y^5 \cdot \frac{1}{3} y^5 \cdot \frac{1}{3} y^5 } = \frac{5}{\sqrt[5]{2^2 3^3}} x^2 y^3 > x^2 y^3}\)

[Premislav]

Zachodzi nawet mocniejsza nierówność w dodatnich:
\(\displaystyle{ x^{2}y^{3}+x^{3}y^{2}\le x^{5}+y^{5}}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ 0\le x^{3}\left(x^{2}-y^{2}\right)-y^{3}\left(x^{2}-y^{2}\right)\\0\le \left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{3}-y^{3}\right)\\0\le (x-y)^{2}(x+y)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)}\)
a to z uwagi na dodatniość \(\displaystyle{ x,y}\) jest oczywiste.

W pozostałych podpunktach można łatwo znaleźć kontrprzykład, aczkolwiek jeśli dokładnie jedna odpowiedź ma być prawidłowa, to można sobie oszczędzić czasu.

[janusz47]

b)
\(\displaystyle{ x^2 y^3 < x^5 +y^5 }\)

Podziel nierówność przez \(\displaystyle{ x^2y^3 >0 }\)

Uprość prawą stronę nierówności.

Podstaw \(\displaystyle{ \frac{x}{y} = t. }\)

Udowodnij, że otrzymana nierówność jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ t > 0. }\)

[a4karo]

Jeżeli `x<y` to `x^2y^3<y^5<x^5+y^5`, w przeciwnym razie `x^2y^3\le x^2x^3=x^5<x^5+y^5`