2. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ p }\) jest liczbą pierwszą, a \(\displaystyle{ r }\) jest liczbą całkowitą, to istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ m }\) taka, że \(\displaystyle{ m^m \equiv r (\bmod p) }\).
3. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 e^x = 2 \\ x+e^x=2. \end{cases} }\)
4. Okrąg jest wpisany w trójkąt i na tym okręgu jest też opisany kwadrat. Udowodnić, że więcej niż połowa obwodu kwadratu jest wewnątrz trójkąta.
5. Roztargniona szatniarka pomieszała \(\displaystyle{ 30}\) kapeluszy gości hotelowych i nie mając wyjścia rozdała je na chybił-trafił. Jaka jest wartość oczekiwana liczby kapeluszy, które powróciły do swojego właściciela ?
6. Rozwiązać kongruencję \(\displaystyle{ x^2 \equiv y (\bmod x-y). }\)
7. Wyznaczyć funkcje określone na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych i o wartościach w tym zbiorze, dla których \(\displaystyle{ f (f (f(n))) = n+ 1 }\) gdy \(\displaystyle{ n=0, 1, 2, … }\)
8. Niech \(\displaystyle{ G }\) będzie grafem o \(\displaystyle{ n }\) wierzchołkach, a \(\displaystyle{ L(G) }\) dopełnieniem grafu \(\displaystyle{ G }\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \kappa (G) \kappa( L(G)) \geq n.}\)
9. Każdemu wierzchołkowi sześcianu przypisano jedną z liczb \(\displaystyle{ \pm 1 }\), a następnie każdej ścianie iloczyn liczb z czterech jej rogów. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości sumy tak otrzymanych 14 liczb.
10. Słowo to skończony ciąg liter pewnego alfabetu. Słowo jest powtarzające, jeśli można je uzyskać przez napisanie obok siebie pewnego słowa co najmniej dwa razy. Udowodnij, że jeśli słowo ma taką własność, że każda zamiana dwóch sąsiednich liter sprawia, że staje się ono powtarzające, to wszystkie litery w słowie są takie same.
Ukryta treść:
