[Niezmienniki][kolorowanie] Iloczyn liczb w tablicy

[slabymatematyk99]

Tablicę o wymiarach 5x5 podzielono na kwadraciki jednostkowe. W każdy kwadracik wpisujemy liczbę 1 lub -1. Następnie obliczamy dla każdego wiersza i dla każdej kolumny iloczyn liczb znajdujących się w tym wierszu, kolumnie. Czy może się zdarzyć, że suma tych 10 iloczynów będzie równa 0? Odpowiedz uzasadnij.
Próbowałem to zrobić i wychodzi mi, że nie może tak się stać, jednak nie umiem tego logicznie uargumentować.

[Premislav]

Ukryta treść:    

Przypuśćmy nie wprost, że suma tych iloczynów wynosi zero. Popatrzmy na parzystość liczby minus jedynek napisanych na tablicy.
Każdy z takich iloczynów „wierszowych" bądź „kolumnowych" jest równy \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ -1}\). To, że suma po wszystkich iloczynach wierszy i kolumn wynosi zero, oznacza, że łącznie mamy \(\displaystyle{ 5}\) iloczynów równych \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) równych \(\displaystyle{ -1}\). Powiedzmy więc, że w \(\displaystyle{ k}\) wierszach, \(\displaystyle{ k\in \left\{0,1,2,3,4,5\right\}}\) mamy iloczyn wyrazów równy \(\displaystyle{ -1}\), czyli w \(\displaystyle{ k}\) wierszach jest nieparzyście wiele minus jedynek. To oznacza, że w \(\displaystyle{ 5-k}\) kolumnach mamy iloczyn równy \(\displaystyle{ -1}\), czyli w \(\displaystyle{ 5-k}\) kolumnach występuje nieparzyście wiele minus jedynek. Liczba \(\displaystyle{ k}\) jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 5-k}\) jest nieparzysta.
Jeśli teraz zliczymy minus jedynki po wierszach, to otrzymamy sumę \(\displaystyle{ k}\) liczb nieparzystych i ewentualnie pewnych liczb parzystych, a gdy zliczymy minus jedynki po kolumnach, to dostaniemy sumę \(\displaystyle{ 5-k}\) liczb nieparzystych i ewentualnie pewnych liczb parzystych, więc jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste, to mamy zarazem parzyście wiele (suma parzyście wielu liczb nieparzystych i pewnej skończonej liczby liczb parzystych) minus jedynek na tablicy, i nieparzyście wiele (suma \(\displaystyle{ 5-k}\), czyli nieparzyście wielu, liczb nieparzystych i do tego skończenie wielu parzystych), podobnie dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego, tylko na odwrót. Sprzeczność.

[Slup]

Ukryta treść:    

Załóżmy, że wypełniliśmy tablicę w jakiś sposób. Oznaczmy sumę iloczynów w tej tablicy przez \(\displaystyle{ S}\). Przyjmijmy teraz, że zmieniamy znak liczby w polu \(\displaystyle{ (i,j)}\) tablicy na przeciwny i otrzymaną sumę iloczynów w nowej tablicy oznaczmy przez \(\displaystyle{ S'}\). Jeśli \(\displaystyle{ w_i}\) to iloczyn elementów w \(\displaystyle{ i}\)-tym wierszu przed zamianą oraz \(\displaystyle{ c_j}\) to iloczyn elementów w \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumnie przed zamianą, to mamy wzór
$$S' = S - 2(w_i+c_j)$$
Z racji, że \(\displaystyle{ w_i,c_j\in \{-1,1\}}\) widzimy, że liczba \(\displaystyle{ 2(w_i+c_j)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Stąd \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ S'}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).

Następnie zauważmy, że każdą tablicę możemy otrzymać z tablicy, która w każdym polu ma \(\displaystyle{ 1}\), przez serię operacji zamiany znaku liczb w ustalonych polach tablicy. Jednak suma iloczynów w tablicy z liczbą \(\displaystyle{ 1}\) we wszystkich polach wynosi \(\displaystyle{ 10}\), a więc daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\). Oznacza to na mocy poprzedniej obserwacji, że we wszystkich tablicach suma iloczynów daję resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\). Stąd nie istnieje tablica, której suma iloczynów wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

[timon92]

Ukryta treść:    

po wymnożeniu wszystkich dziesięciu iloczynów otrzymujemy iloczyn kwadratów wszystkich dwudziestu pięciu liczb wpisanych w tabelkę, czyli dokładnie \(1\)

gdyby suma dziesięciu iloczynów była zerem, to byłoby wśród nich dokładnie pięć jedynek i pięć minus jedynek, więc ich iloczyn byłby równy \(-1\) sprzeczność