Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Tablicę o wymiarach 5x5 podzielono na kwadraciki jednostkowe. W każdy kwadracik wpisujemy liczbę 1 lub -1. Następnie obliczamy dla każdego wiersza i dla każdej kolumny iloczyn liczb znajdujących się w tym wierszu, kolumnie. Czy może się zdarzyć, że suma tych 10 iloczynów będzie równa 0? Odpowiedz uzasadnij.
Próbowałem to zrobić i wychodzi mi, że nie może tak się stać, jednak nie umiem tego logicznie uargumentować.
Przypuśćmy nie wprost, że suma tych iloczynów wynosi zero. Popatrzmy na parzystość liczby minus jedynek napisanych na tablicy.
Każdy z takich iloczynów „wierszowych" bądź „kolumnowych" jest równy \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ -1}\). To, że suma po wszystkich iloczynach wierszy i kolumn wynosi zero, oznacza, że łącznie mamy \(\displaystyle{ 5}\) iloczynów równych \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) równych \(\displaystyle{ -1}\). Powiedzmy więc, że w \(\displaystyle{ k}\) wierszach, \(\displaystyle{ k\in \left\{0,1,2,3,4,5\right\}}\) mamy iloczyn wyrazów równy \(\displaystyle{ -1}\), czyli w \(\displaystyle{ k}\) wierszach jest nieparzyście wiele minus jedynek. To oznacza, że w \(\displaystyle{ 5-k}\) kolumnach mamy iloczyn równy \(\displaystyle{ -1}\), czyli w \(\displaystyle{ 5-k}\) kolumnach występuje nieparzyście wiele minus jedynek. Liczba \(\displaystyle{ k}\) jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 5-k}\) jest nieparzysta.
Jeśli teraz zliczymy minus jedynki po wierszach, to otrzymamy sumę \(\displaystyle{ k}\) liczb nieparzystych i ewentualnie pewnych liczb parzystych, a gdy zliczymy minus jedynki po kolumnach, to dostaniemy sumę \(\displaystyle{ 5-k}\) liczb nieparzystych i ewentualnie pewnych liczb parzystych, więc jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste, to mamy zarazem parzyście wiele (suma parzyście wielu liczb nieparzystych i pewnej skończonej liczby liczb parzystych) minus jedynek na tablicy, i nieparzyście wiele (suma \(\displaystyle{ 5-k}\), czyli nieparzyście wielu, liczb nieparzystych i do tego skończenie wielu parzystych), podobnie dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego, tylko na odwrót. Sprzeczność.
Załóżmy, że wypełniliśmy tablicę w jakiś sposób. Oznaczmy sumę iloczynów w tej tablicy przez \(\displaystyle{ S}\). Przyjmijmy teraz, że zmieniamy znak liczby w polu \(\displaystyle{ (i,j)}\) tablicy na przeciwny i otrzymaną sumę iloczynów w nowej tablicy oznaczmy przez \(\displaystyle{ S'}\). Jeśli \(\displaystyle{ w_i}\) to iloczyn elementów w \(\displaystyle{ i}\)-tym wierszu przed zamianą oraz \(\displaystyle{ c_j}\) to iloczyn elementów w \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumnie przed zamianą, to mamy wzór
$$S' = S - 2(w_i+c_j)$$
Z racji, że \(\displaystyle{ w_i,c_j\in \{-1,1\}}\) widzimy, że liczba \(\displaystyle{ 2(w_i+c_j)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Stąd \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ S'}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).
Następnie zauważmy, że każdą tablicę możemy otrzymać z tablicy, która w każdym polu ma \(\displaystyle{ 1}\), przez serię operacji zamiany znaku liczb w ustalonych polach tablicy. Jednak suma iloczynów w tablicy z liczbą \(\displaystyle{ 1}\) we wszystkich polach wynosi \(\displaystyle{ 10}\), a więc daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\). Oznacza to na mocy poprzedniej obserwacji, że we wszystkich tablicach suma iloczynów daję resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\). Stąd nie istnieje tablica, której suma iloczynów wynosi \(\displaystyle{ 0}\).
po wymnożeniu wszystkich dziesięciu iloczynów otrzymujemy iloczyn kwadratów wszystkich dwudziestu pięciu liczb wpisanych w tabelkę, czyli dokładnie \(1\)
gdyby suma dziesięciu iloczynów była zerem, to byłoby wśród nich dokładnie pięć jedynek i pięć minus jedynek, więc ich iloczyn byłby równy \(-1\) sprzeczność